Rejilla de Cardano

¿Qué es? 

Girolamo Cardano (s. XVI)

Girolamo Cardano (s. XVI)

La rejilla de Cardano es un sistema de encriptación que consiste en utilizar una rejilla con algunos huecos señalados convenientemente.

La idea original es del matemático italiano Girolamo Cardano (s. XVI), quien la utilizó en una única posición. Las rejillas de varias posiciones se llaman rejillas giratorias y fueron utilizadas por los alemanes durane la Primera Guerra Mundial. También aparecen en novelas de misterio, como en “Mathias Sandorff“, de Julio Verne.

Nosotros lo hemos leído en un libro de Martin Gardner, “Matemáticas para todos (y códigos ultrasecretos)” (ISBN: 978-84-9006-043-8) y el método que seguimos es ligeramente diferente a como se explica en el libro.

¿Cómo me construyo una rejilla de Cardano?

Se trata de marcar las anillas de modo que al rotar la rejilla (en cuartos de vuelta) tenga cubiertas al final de la vuelta todas las celdas.

Necesitas:

Pasos:

  1. Recorta un cuadrado de cinco por cinco anillas.
  2. Colorea una anilla cualquiera con el rotulador, por ejemplo la de la esquina superior izquierda.
  3. Marca en el papel las celdas correspondientes que quedarán cubiertas por esta anilla coloreada al girarla cada cuarto de vuelta. En nuestro ejemplo serán las cuatro celdas de las esquinas.
  4. Colorea otra anilla cualquiera cuyo hueco correspondiente no esté coloreado (en nuestro ejemplo no puedes colorear ahora ninguna anilla de esquina). Por ejemplo la anilla que queda en diagonal con la anterior, la que ocupa el lugar (2,2) de la matriz de celdas de papel.
  5. Marca en el papel las celdas correspondientes que quedan cubiertas por esta anilla coloreada al girarla cada cuarto de vuelta. En nuestro ejemplo serán los lugares (2,2), (2,4), (4,2) y (4,4).
  6. Repite el proceso hasta acabar de cubrir las celdas. Deberías haber coloreado 6 anillas para tapar los 24 huecos (el del medio no se tiene en cuenta)

Nota: en la rejilla de tamaño 5×5, la celda del centro (ni se marca ni se colorea) no sirve para codificar el mensaje, pon una letra cualquiera .

¿Cómo se usa?

El emisor y el receptor del mensaje deberán tener cada uno una rejilla, marcadas de la misma manera (es decir, con las mismas anillas coloreadas) para poder comunicarse bien.

Imaginemos que queremos codificar el mensaje “Lo pasamos genial en las JAEM” (24 letras en total).

  1. Colocamos la rejilla sobre la cuadrícula de papel en la posición inicial (sin giro).
  2. En las celdas correspondientes a las anillas coloreadas, escribimos las primeras seis letras del mensaje de izquierda a derecha y de arriba a abajo.
  3. Giramos la rejilla un cuarto de vuelta y escribimos las siguientes seis letras del mensaje.
  4. Repetimos hasta que se nos acaben los huecos.

Nota: Si el mensaje fuese menor de 24 letras, rellenaríamos con más letras (al azar) el resto de las celdas. Si fuese mayor, rellenamos tantas cuadrículas de papel como sea necesario.

Para descodificar el mensaje, el emisor deberá seguir los mismos paso, leyendo las letras correspondientes a las anillas marcadas, girando un cuarto de vuelta cada vez.

 

Y por último os dejamos algo para pensar:

  • ¿Sirven las rejillas rectangulares? ¿Y con otras formas (triangulares por ejemplo)?

La trenza imposible

¿Y tú cómo haces la trenza Joan Miquel?

¿Y tú cómo haces la trenza Joan Miquel?

¡Qué divertido ha sido veros a todos con la trenza! Lo mejor es la cara de satisfacción cuando al fin se consigue. Y es que ¿quién puede resistirse a un rompecabezas?  Este es muy sencillo, se trata de tres tiras unidas por ambos extremos y hay que hacer una trenza.

Hicimos cerca de 200 y los repartimos a los asistentes a las JAEM2013. Y todos disfrutaron haciendo y deshaciendo la trenza una y otra vez. Alguno hubo que incluso sacó su propio algoritmo.

Otros, como el Mago Moebius, que tiene materiales topológicos con un material muy similar, nos propuso un desafío: ¿Se podría con un número de tiras mayor que 3? La respuesta os la dejamos pensar un poco, que nosotros ya tenemos un caso en que se puede. La solución la tendréis colgada en breve.

Mientras, aquí tenéis una foto del rompecabezas en la posición inicial (blanco) y ya resuelto (morado)

Rompecabezas trenza Divermates

Referencias:

La idea la sacamos del libro “¡Ajá! Paradojas que hacen pensar” de Martin Gardner (ISBN:978-84-473-5331-6), en el que cuenta la solución y da las referencias de donde él sacó la idea:

  • Artículo de A. H. Shepherd, “Braids wich can be plaited with their threads tied together at each end” (“Trenzas que pueden tejerse con sus cabos ligados entre sí por sus extremos”), en los “Proceedings of the Royal Society”, A, vol.265 (1962), pp.229-244.
  • Capítulo “Trenzas y teoría de grupos” del libro “Nuevos pasatiempos matemáticos” de Martin Gardner.

También la hemos visto en “Bricológica. Treinta objetos matemáticos para construir con las manos”, de Robert Ghattas, de Ediciones Rialp (ISBN: 978-84-321-3909-3)