Calendario Lunar

Remontándonos al siglo V a.C. y con vistas a hablar de las fases de la luna, nos gustaría hablaros de Metón de Atenas. Este astrónomo griego descubrió que 19 años solares del calendario equivalían a 235 meses lunares. Esto quiere decir que, después de 19 años, la luna volvía a pasar por las mismas fases en las mismas fechas. No obstante Metón estimó un error de 5 minutos por año, por lo que en algunos casos la luna llena puede no coincidir exactamente en el mismo día. Aunque fue Metón quien puso nombre a estos ciclos, hay escritos que indican que eran ya utilizados en Mesopotamia desde el siglo VI a.C. para predecir eclipses.

Y hablando de eclipses, ¿recordáis el eclipse de sol que tuvo lugar el pasado mes de Agosto? Seguro que fue un efecto mágico para todos aquellos que pudieron verlo en vivo y en directo. Lástima que desde España tuviéramos que conformarnos con verlo a través de las redes. Aún así, nosotros no nos lo perdimos, ¿y vosotros?

Un eclipse solar se da cuando la luna se interpone exactamente entre el sol y la tierra. Obviamente, este fenómeno sólo puede darse durante la luna nueva. Como todos sabemos, según la posición de la luna y el sol, puede verse luna llena, menguante,  creciente o nueva. Es por ello que, desde Divermates, queremos enseñaros cómo construir un calendario lunar que nos dirá qué luna habrá cada noche desde hoy hasta el año 2037.

¿Cómo se construye el calendario?

Lo primero que tienes que hacer es conseguir un rotulador negro, tijeras y pegamento, e, importante, una bola de poliespán o corcho blanco de unos 3 cm de diámetro, además de la hoja con el calendario que puedes descargar aquí:

Calendario Lunar – Divermates

Para facilitar la construcción es recomendable tener también un cúter, cinta de doble cara y un palillo de pincho moruno.

El calendario se compone de dos piezas, un círculo y un sobre. Lo primero que tendremos que hacer es recortar ambas piezas. ¡Atención!, el círculo con una cruz en el centro de la parte negra del sobre también hay que recortarlo.

La pieza circular la dejamos como está. El sobre tendremos que montarlo doblando por la mitad y echando pegamento en las solapas. Una vez montado el sobre, meteremos el círculo dentro.

Dejamos nuestro sobre a un lado y comenzamos a preparar la luna. Lo que vamos a hacer es pintar la mitad de la bola de color negro. Para ello recomendamos pinchar la luna en un pincho moruno y, aprovechando la línea perimetral que puede percibirse en la bola, colorear media bola.

Una vez hemos coloreado la mitad de la bola, recomendamos hacer un corte en la base. De esta forma cuando la vayamos a pegar en el calendario, lo haremos sobre una superficie plana.

Para unir la luna al calendario lo mejor es usar cinta de doble cara. La luna tenemos que pegarla en el circulito central de la pieza circular. Hay que hacerlo con cuidado, peg, pero, importante, hay que pegarla teniendo la pieza circular metida en el sobre. De esta manera la pieza quedará encajada y no podrá separarse del sobre. Si nos fijamos en el circulito central tiene medio círculo blanco y medio círculo negro. Es importante que peguemos la luna haciendo coincidir la parte coloreada con el semicírculo negro y la parte blanca con el semicírculo blanco. Una vez pegada, es aconsejable que comprobemos si al girar el disco gira también la luna.

¡Ya tenemos nuestro calendario lunar!

¿Cómo funciona?

Ya en el propio calendario por la parte de abajo vienen las instrucciones de uso. Para comprobar que tengamos el calendario bien hecho y que se entienden las instrucciones vamos a ver un ejemplo.

Como hemos empezado hablando del eclipse solar que tuvo lugar el 21 de agosto y ya hemos dicho que para que haya eclipse solar la luna ha de ser nueva, vamos a comprobar que el calendario nos da esta información correctamente.

“Lo primero que tienes que hacer es girar el disco donde están situados los años, hasta que coincida el año con el mes que quieres observar”, es decir, vamos a girar hasta hacer coincidir agosto y 2017.

“Una vez colocado correctamente, has de buscar el día del mes que quieres mirar y situar la cartulina horizontal a la altura de los ojos con el día apuntando hacia ti. Guiñando un ojo podrás observar en qué fase estará la Luna el día seleccionado”. En nuestro caso buscamos el día 21, y miramos desde tal día hacia la luna. Podremos observar que, efectivamente, está complemente negra, es decir, la luna, el 21 de agosto de 2017 es luna nueva.

Veamos, para terminar, un ejemplo con un año bisiesto. La siguiente imagen mostraría la luna el 3 de febrero de 2020. Primero hemos hecho coincidir febrero y 2020. Como el 2020 esta recuadrado por ser bisiesto, hemos de hacerlo coincidir con el febrero recuadrado. Y por último, miramos hacia la luna desde el día 3.

Esperamos que os haya gustado este calendario, y, en caso de ser fanáticos de la astronomía, le deis uso, para, por ejemplo, planear vuestras salidas con el telescopio.

Un rompecabezas topológico de Fibonacci


Ya estamos de vuelta de las vacaciones, y en este mes de vuelta a clase nos gustaría retomar el curso con un rompecabezas topológico casero.

La topología puede parecer una parte algo compleja de las matemáticas cuando no has estudiado matemáticas a fondo. Nosotros en Divermates tenemos un taller dedicado exclusivamente a esta rama de las matemáticas, para niños de segundo de primaria. A priori puede parecer una locura tratar de hacer entender mínimamente a un alumno de 7 años lo que es  la topología, pero nosotros asumimos el reto, y, a día de hoy, podemos presumir de conseguirlo.

Formalmente la topología estudia las propiedades de las figuras que permanecen invariantes al ser sometidas a ciertas transformaciones, de forma que no aparezcan nuevos puntos o nuevos “agujeros”. Es la geometría donde solo nos interesamos por la forma, sin atender a la medida.

En nuestro taller hablamos de la cinta de Möbius, cuya particularidad es tener un único un borde y una única cara. Al principio a los alumnos les parece una locura. Pero después de hacer distintos juegos y actividades entienden perfectamente este concepto.

Pero no es la banda de Möbius lo más interesante de la topología. Hay muchos problemas que han tratado grandes matemáticos a lo largo de la historia. Tenemos los puentes de Konigsberg, famosos problemas de nudos, el teorema de los cuatro colores, la botella de Klein, grafos… Os animamos a profundizar sobre estos juegos, modelos y problemas.

Sin embargo, la topología más al alcance de todos es quizá la que esconden los juegos topológicos de madera o metal. Seguramente alguna vez has visto alguno de estos juegos, donde aparecen elementos unidos por cuerdas que a simple vista parecen imposible de separar. Estos juegos topológicos ayudan a desarrollar la visión espacial, despertar la curiosidad y potenciar la paciencia y resolución de problemas con ingenio.

Os mostramos a continuación algunos de una colección muy especial:

¿Te gustaría construirte tu propio rompecabezas de papel?

Se cuenta que Chandlahuri, un sirviente indio de Fibonacci, regaló un rompecabezas como este al matemático pisano. Este rompecabezas fue llamado por Fibonacci como “lo joco enimmatico del brachiale torquato“, es decir, “el juego enigmático del brazalete retorcido”.

¿Te has fijado en el diseño del rompecabezas? En honor al gran Fibonacci hemos querido dejar plasmada la sucesión que lleva su nombre en el brazalete: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55… Esta sucesión tiene muchas propiedades matemáticas, como, por ejemplo, la construcción de la espiral áurea que también podrás observar en el rectángulo.

Para construirtelo sólo necesitarás, tijeras, pegamento, un cordón de unos 25-30 cm. y el recortable que puedes descargar aquí:

Rompecabezas Topológico – Divermates

Como vamos a hacer un juego que vamos a manipular mucho con las manos te recomendamos construirlo con cartulina.

Lo primero que hay que hacer, como siempre, es recortar todas las piezas. Nuestro juego consta de un cuadrado, un rectángulo áureo y dos tiras onduladas. Observa que el cuadrado tiene un agujero en el centro, y que ambas piezas cuadriláteras tienen una cruz por donde deberá pasar la cuerda.

A continuación pegamos las dos tiras, poniendo pegamento solamente en las solapillas. Fijaos bien en dejar las tiras bien entrelazadas una con la otra, pero solo pegadas por los extremos.

Una vez tenemos nuestra pieza principal, la unimos a los cuadriláteros de la siguiente manera:

  • Primero anudamos la cuerda y la pasamos por la cruz del rectángulo.

  • A continuación hacemos pasar la cuerda por el agujero del centro del cuadrado.

  • Llevamos la cuerda por los dos huecos extremos de nuestro brazalete.

  • Y para terminar, la pasamos por la cruz del cuadrado para terminar haciendo un nudo.

¡Ya tienes tu rompecabezas topológico listo!

Ahora solo te queda aprender a deshacerlo, sin despegar las piezas, claro. ¿Eres capaz de separarlas estudiando únicamente los enredos de la cuerda y los agujeros de las piezas?

Pista:

los agujeros en este juego, como en casi todos los de este tipo, son clave.

¡Ánimo con ello! Tanto si lo consigues, como si tienes dudas, no dudes en dejarnos un comentario.

BIBLIOGRAFIA

Sarcone, G.A. (1997-2017). Torquato Puzzle: Archimedes Laboratory Project. Recuperado de aquí.

 

 

Octaedro I Ching, un juego de matemagia

El I Ching o Libro de los cambios es uno de los libros más viejos del mundo del que se desconocen los orígenes. Durante más de 2000 años se ha utilizado en el Oriente como libro de adivinación, y todavía hoy se estudia con gran respeto como fuente rica en sabiduría. Decenas de miles de jóvenes que secundan el renacimiento actual del ocultismo consultan el I Ching con la misma seriedad que consultan la tabla Oiuja o las cartas del tarot.

La base combinatoria del I Ching consta de 64 hexagramas que muestran todas las permutaciones posibles de dos tipos de líneas, al tomarlas de seis en seis. Estos dos tipos de línea revelan la dualidad básica de la metafísica china: la línea cortada corresponde al yin y la línea continua al yang.

  • Tomando las líneas de dos en dos, hay 4 formas distintas de combinarlas (digramas).
  • Tomando las líneas de tres en tres, tenemos 8 formas distintas (trigramas).

Combinando los ocho trigramas, obtenemos los 64 hexagramas. Sustituyendo por un 1 cada línea continua, y por un 0 cada línea cortada, y tomando los hexagramas por orden, leyéndolos de arriba a abajo en cada uno se obtiene la sucesión 000000, 000001, 000010, 000011,…, 111111; que no es otra cosa que la de los números del 0 al 63 expresados en notación binaria. Hasta los tiempos de Leibniz no se reconoció este isomorfismo entre los hexagramas y la notación binaria.

Utilizando estos datos, vamos a comenzar nuestro juego de magia usando los ocho trigramas distintos. Para construir este juego nos hemos basado en un juego de Bob Hummer.

Construcción del octaedro I Ching

En Divermates hemos construido un octaedro con los ocho hexagramas con el que podrás realizar un nuevo truco de matemagia.

Para construir el octaedro I Ching sólo necesitarás tijeras, pegamento y el recortable que puedes descargar aquí:

Octaedro I Ching – Divermates

En cada pdf aparece el juego por duplicado, así podrás regalarle un octaedro a algún amigo. Cada juego consta de un octaedro plegable y un sobrecito para guardarlo.

Primero tendrás que recortar ambas piezas.

Comenzando por el octaedro, dobla por todas las líneas.

A continuación, echa pegamento en todas las solapillas para pegarlas como muestran las siguientes imágenes.


La figura resultante será un octaedro que puede plegarse y meterse en un sobre.

Para formar el sobre, únicamente tendrás que echar pegamento en las dos solapas.

¡Ya tenemos listo nuestro juego!

Realización del juego de magia

Antes de empezar, daremos a elegir a nuestro espectador uno de los ocho trigramas. Luego iremos moviendo el octaedro para saber en qué posiciones puede ver el trigrama elegido. En cada uno de estas posiciones nuestro espectador sólo tendrá cuatro trigramas visibles. Al final, con tres preguntas podremos adivinarlo.

Para facilitar la explicación de este juego, aquí os dejamos un vídeo con el procedimiento completo.

Numeración binaria

Otra opción para adivinar el trigrama seleccionado por nuestro espectador es usar la numeración binaria.

Si sustituimos, como dijimos antes, cada línea continua por un 1, y cada línea cortada por un 0, los ocho trigramas corresponden a los números del 0 al 7 en notación binaria.

Sólo tenemos que tener en cuenta la siguiente información:

La primera respuesta vale 1, la segunda respuesta vale 2 y la tercera 4. Esto se debe a que al utilizar la numeración binaria debemos usar las potencias de dos. Sabiendo esto, sólo tendremos que sumar estos valores cuando nuestro espectador responde SI.

Por ejemplo, si las respuestas de nuestro espectador son, en orden, NO-SI-SI, tendremos que sumar 0+2+4=6, obteniendo el lago.

Observa que la respuesta coincide con el método del video: NO-SI-SI corresponde a línea cortada-continua-continua.

BIBLIOGRAFIA

Fulves, K, (1988), Bob Hummer’s Colllected Secrets

Gardner, M, (2010), Rosqullas anudadas, Barcelona, RBA Libros.

Pla i Carrera, J, (2009), Liu Hui: nueve capítulos de la matemática china, Madrid, S.L. Nivola Libros y Ediciones.

“Patterns”, un juego de cartas de Sid Sackson

Hay cientos de juegos para los que sólo necesitarás una baraja de cartas, un dominó o papel y lápiz. Sid Sackson nos cuenta en su libro “A gamut of games” un montón de juegos de este tipo, y desde Divermates hemos traducido y maquetado algunos de ellos. Hoy os dejamos uno llamado “Patterns”.

En el juego original Sackson utiliza cartas de poker, pero a nuestro parecer es más sencillo de entender con unas cartas especiales. Para construirtelo sólo tendrás que imprimir dos copias de nuestra maquetación que puedes descargar aquí:

Patterns – Divermates

Si lo imprimes a dos caras, tendrás un bonito reverso de cartas con un teselado del mágnifico M.C. Escher. Una vez impreso, lo único que hay que hacer será recortar las cartas.

Recuerda, debes tener dos juegos de cartas, uno por cada jugador. De esta manera, una vez recortadas, deberás tener dos paquetitos con cartas del 1 al 12 en cada uno.

Además de las cartas necesitarás 12 fichas o tokens, para lo que puedes usar monedas, fichas de parchís, garbanzos, o cualquier cosa que se te ocurra. Nosotros utilizamos diamantes de juguete.

Puedes descargarte el reglamento aquí:

Reglamento Patterns – Divermates

El juego

El “Patterns” es un juego rápido, pues suele terminarse en, a lo sumo, 4 rondas. No obstante, en cada ronda, el jugador deberá estudiar con detenimiento sus posibles movimientos.

Es importante no olvidar que existen tres características distintas. Este juego requiere de gran capacidad de observación para distinguir a qué objetivo llegarás con menos movimientos. Además, al estar visibles las cartas de ambos jugadores es posible elaborar una estrategia para intentar perjudicar al rival. Si prestamos atención no sólo a nuestras cartas, sino también a las de nuestro rival, podremos deducir cuál será su objetivo y así tratar de ponerle algún impedimento.

¡Esperamos que disfrutes el  juego!

BIBLIOGRAFÍA

Como ya hemos dicho, puedes encontrar éste y muchos otros juegos en el siguiente libro:

Sackson, S, (1992), A gamut of games, New York, Dover Publications, Inc.

Este libro lo hemos descubierto a través de otro juego llamado “Patterns 2” al que Martin Gardner hace referencia en su libro:

Gardner, M, (1995), Circo matemático, Madrid, Alianza Editorial.

Calendario 2017 – Flexágono y prisma hexagonal

¡Ya está aquí el calendario-bote de lápices con forma de prisma hexagonal que os prometimos! Combinando de nuevo la construcción de un flexágono, esta vez con un prisma, podréis haceros vuestro propio bote de lápices con los meses de este año nuevo que llega.

Además, hemos incluido los nacimientos de algunos personajes de gran importancia para la historia de las matemáticas, muchos de los cuales son relevantes en nuestros talleres de Divermates. Con esto podréis saber si compartís día de nacimiento con alguno de ellos (mes seguro que sí).

Si ya hiciste el árbol navideño que cambia de color, no tendrás ningún problema para realizar ahora nuestro calendario-bote de lápices.

¿Cómo se construye?

De nuevo, lo único que necesitarás para construir tu calendario es pegamento, tijeras, y la hoja del recortable que puedes descargar aquí:

Calendario 2017 – Divermates

Esta vez las dos piezas que componen nuestro calendario se imprimirán cada una en una hoja. Es decir, no habrá que imprimir nada a doble cara, como hicimos con el árbol.

Preparación de las dos piezas

Recortamos cada pieza por el borde exterior. Cuidado, esta vez hay alguna complicación:

  • Siguiendo el borde exterior encontrarás algunas zonas con un reborde blanco. Por ahí habrá que recortar para separar dos zonas coloreadas de nuestra figura. Al hacer esto alrededor del mes de Enero nos comemos un trozo del hexágono, pero no te preocupes, no interfiere en el desarrollo de nuestro calendario.

  • También habrá que recortar los cuatro círculos que encontrarás dentro de cuatro de los hexágonos.

Como esta vez no hemos impreso a doble cara para evitar desvíos de impresión, antes de meternos con los dobleces propios de cada pieza, vamos a prepararla de forma que quede lista por ambas caras. Para ello habrá que doblar y pegar los meses enero-febrero-marzo sobre julio-agosto-septiembre. Seguidamente repetimos el proceso con los matemáticos Gauss-Agnesi-Turing sobre Galois-Mandelbrot-Kepler y Euler-Puig Adam-Pascal sobre Martin Gardner-Moebius-Ramanujan.

Después de estos pasos tenemos listas nuestras dos piezas.

Ya con nuestras piezas preparadas, vamos a comenzar con el doblado. Por una parte doblaremos los ocho hexágonos y las dos solapillas que encontrarás en dos de ellos. Por otro lado habrá que doblar también las líneas verticales que separan cada mes, incluidas las que están en las solapas a doble cara.

Una vez realizados todos los dobleces, cada una de las dos piezas quedará como se muestra a continuación:

Unión de las dos piezas

En esta construcción la unión de las piezas es mucho más sencilla. En plano, introduce las solapas hasta hacer encajar cada mes con sus respectivos nacimientos de matemáticos. Ten en cuenta que el patrón de colores queda como un “tablero de ajedrez”.

Una vez encajadas las dos piezas, nos quedan tres solapillas, dos a un lado y una al otro. Sólo habrá que echar pegamento y pegarla por detrás para que quede una única pieza plana.

Cuidado al pegarlas. Las tiras de los cumpleaños deberán quedar bien alineadas por encima y por debajo de la tira de los meses.

El siguiente paso será pegar los hexágonos. Primero pegaremos el hexágono situado sobre Leibniz encima del hexágono situado sobre Riemann. Este paso podrá hacerse con más precisión si nos fijamos en dejar bien alineados los círculos que recortamos al principio.

Repetimos el mismo procedimiento con los dos hexágonos inferiores de esa mitad del prisma, los que coinciden con Cardano y Buckmister Fuller, dejando la parte gris visible.

Pegamos ahora los hexágonos de la otra mitad del prisma, dos a dos.

Las dos solapillas en las aristas de los hexágonos servirán para cerrar el calendario en la posición deseada.

¡Ya tenemos terminado nuestro calendario!

¿Conoces a todos los personajes que aparecen en el calendario?

Esperamos que no, y de esa forma te hayamos regalado estas fiestas algo nuevo que aprender.

Te deseamos que el 2017 esté lleno de nuevos descubrimientos.

¡Feliz año 2017! – Flexágonos y cuerpos geométricos

En estas fechas, como cada año, queremos dejaros una felicitación para el año nuevo al estilo de Divermates. Partiendo de la idea de combinar flexágonos con cuerpos geométricos hemos conseguido dos construcciones que se basan en este mismo concepto. La primera de ellas es un árbol navideño que cambia de color.

Aunque estas construcciones son algo más difíciles que las de años anteriores merece mucho la pena intentarlo. El resultado serán dos figuras que asombrarán a todos tus amigos.

Como hemos dicho, vamos a empezar con la más fácil y propia de estas fiestas, el árbol de Navidad.

¿Cómo se construye?

Para construir este árbol solo necesitarás pegamento, tijeras, y la hoja del recortable que puedes descargar aquí:

Árbol cambio color – Divermates

Es importante imprimir el documento a dos caras (girando sobre uno de los lados cortos), de forma que al mirar a trasluz quede una imagen como la que se muestra a continuación:

Preparación de los semiconos

El modelo se compone sólo de dos piezas que deberán recortarse por el borde exterior:

Una vez que tenemos las dos piezas, lo primero que habrá que hacer es doblar las dos solapas que sobresalen en cada una de las piezas, y los trapecios numerados al final de cada una. Serán ocho dobleces en total: cuatro doblando las zonas blancas numeradas y otros cuatro doblando los sectores circulares nevados.

Es importante hacer estos dobleces en ambas direcciones. Primero hacia un lado y luego hacia el otro.

A continuación, dobla los lados largos del triángulo blanco central. También hay que doblar el trapecio que queda bajo el triángulo en una de las dos piezas.

Después de haber realizado todos los dobleces, cada una de las dos piezas quedarán como se muestra a continuación:

Para que el árbol adopte la forma cónica, podemos curvar la parte correspondiente, la que tiene forma de sector circular en colores verde y nevado, usando para ello un lápiz.

Vamos a proceder a cerrar los dos semiconos, echando pegamento en la solapa alargada.

¡Ojo! Cuidado al pegarlo. Las líneas del semicono deberán quedar bien alineadas con las solapas.

Una vez llegados a este punto, las dos piezas estarán listas para ser unidas.

Unión de los semiconos

Para unir ambas piezas vamos a colocar primero las solapas en su posición correcta. Para ello, hay que doblarlas sobre su propio semicono, quedando como muestra la imagen.

Comenzamos pegando la solapa número 1. Primero echamos pegamento sobre el triángulo 1 para, a continuación, pegar la solapa 1 sobre ese triángulo 1, cuidando que quede bien alineado.

Repetimos el proceso con la solapa número 2. Recuerda que las solapas de cada semicono deben rodear la parte redondeada de su semicono y llegar al otro a través del espacio entre ambos.

Después de repetir lo mismo con las cuatro solapas obtenemos una figura como la que se muestra a continuación.

El trapecio en blanco que queda sobrante bajo uno de los semiconos sirve para sujetar ambas mitades al colocar el árbol en cada uno de los colores.

¡Ya tenemos terminado nuestro árbol!

Una vez terminado, aconsejamos moldear el árbol por el lado blanco, y dejarlo unas horas por ese lado para que se adapte.

estad atentos al blog…

Próximamente os contaremos cómo hacer la otra figura que hemos creado para vosotros: un calendario-bote de lápices con forma de prisma hexagonal.

El juego de las marcas

Hoy os hemos preparado un juego de magia que enseñamos en nuestra conferencia de Matemagia. El juego de las marcas es un juego muy sencillo con el que podrás asombrar a tus amigos.

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Lo primero que debes hacer es prepararte las 6 tarjetas que necesitas. Para ello, primero tendrás que imprimir las tarjetas, que puedes decargar aquí:

El juego de las marcas – Divermates

Te recomendamos que las imprimas en cartulinas. La preparación de las tarjetas es fácil, sólo tienes que recortar todos los cuadraditos grises con la X en su interior, de forma que, al final, tendrás un paquete formado por 5 tarjetas perforadas y una completa (como puede verse en la imagen superior).

Para llevar a cabo el juego, el mago pedirá al espectador que elija una de las marcas que aparecen en la tarjeta completa. Es importante que el espectador sólo piense la marca, y no la diga en ningún momento.

Después el mago mostrará las 5 tarjetas restantes para que el espectador responda si su marca está en cada una de ellas. Sólo con estos pasos el mago será capaz de adivinar la marca pensada por el espectador.

¿Cómo conseguirá el mago saber la marca elegida?

El desarrollo de este juego es muy fácil. A medida que enseñas las 5 tarjetas perforadas tendrás que ir colocándolas estratégicamente. Es indiferente el orden en que enseñas las tarjetas.

  • Si la respuesta de tu espectador es que SI está la marca en la tarjeta, deberás dejarla boca abajo cara contra cara sobre la tarjeta completa, de forma que el texto central quede BOCA ABAJO.

Por ejemplo, vamos a fijarnos en la marca LEGO. Como en la primera tarjeta si está, la pondremos boca abajo.  Esto hará que nuestra marca siga viéndose en la tarjeta completa.

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  • Si la respuesta es NO, deberás dejarla boca abajo cara contra cara sobre la tarjeta completa, de forma que el texto central quede BOCA ARRIBA.

¡Cuidado! Haz que tu espectador esté completamente seguro de que la marca pensada no está en la tarjeta, pues las marcas están cambiadas de sitio de una tarjeta a otra.

En esta segunda tarjeta, nuestra marca LEGO no está, así que esta vez la pondremos boca arriba. Igual que antes, al dar la respuesta correcta, nuestra marca seguirá viéndose en la tarjeta completa.

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Una vez realizada esta operación con las 5 tarjetas, cada una sobre la anterior, quedará una única marca visible.

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¡Esta es la marca que ha elegido tu espectador!

 

Origen del juego de las marcas

Este truco es una aplicación de un juego muy antiguo en el que el mago debía adivinar un número que el espectador había pensado, es un juego basado en el sistema de numeración binario. Puedes encontrar más información sobre el origen de este juego y las matemáticas que esconde en los siguientes libros:

Blasco, F, (2007), Matemagia, Madrid, Temas de hoy.

Gardner, M, (2011), Matemáticas, magia y misterio, Barcelona, RBA Libros.

 ¡Esperamos que os gusten!

Regla de cálculo, un viaje al pasado

La regla de cálculo es un instrumento que nos sirve para realizar operaciones matemáticas, como pueden ser multiplicaciones o divisiones, e incluso porcentajes, cálculos de proporcionalidad o raíces cuadradas.

ejemplos_de_regla_de_calculo

Fue sustituida inevitablemente por las calculadoras, pero durante más de 400 años fue instrumento imprescindible para todo científico o ingeniero. Por poner un ejemplo, muchos de los cálculos llevados a cabo durante las misiones Apolo, que llevaron al hombre a la luna, fueron realizados con reglas de cálculo. Hay que decir que por entonces la informática aún estaba dando sus primero pasos.

Hoy desde Divermates queremos dejaros un modelo para que os fabriquéis vuestra propia regla de cálculo. Para construirla solo necesitas pegamento, tijeras, e imprimir, a ser posible en cartulina, la plantilla que puedes descargar aquí:

Regla de cálculo – Divermates.

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A continuación te detallamos las instrucciones para su montaje, que es muy sencillo:

Para empezar, recorta por todas las líneas continuas, separando la cartulina en las 7 piezas que vamos a necesitar. Estas piezas se pegarán en 3 capas:

  • Una capa inferior fija y única.
  • Otra capa intermedia que tiene 3 partes.
  • Una capa superior donde aparecen impresas las reglas propiamente dichas.

Es muy importante cortar las piezas de la forma más precisa posible, pues su buen deslizamiento dependerá de estos cortes. Aconsejamos hacer estos cortes con cutter y regla metálica.

regla-de-cálculo--piezas-cortadas

Primero pegamos una de las piezas más pequeñas de la capa intermedia sobre la cara no impresa de la base.

regla-de-cálculo--pegando-primera-pieza

Ahora pegamos la otra pieza pequeña de la capa intermedia. Para garantizar que la pieza central se podrá mover con libertad pero sin holgura, debemos usarla como referencia. Para ello colocamos en su posición dicha pieza (de color gris) pero sin pegarla. Una vez fijada la pieza pequeña, conviene deslizar la pieza gris a izquierda y derecha para comprobar que se desplaza.

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regla-de-cálculo--comprobar-movimiento-de-la-pieza-gris

Debemos pegar ahora la parte inferior de la capa superior. Aplicaremos el pegamento en la pieza intermedia ya pegada a la base, de forma que la nueva pieza que colocamos quede limpia de pegamento en la parte sobrante, ya que nos servirá para construir el carril sobre el que se deslizará la pieza central. Para facilitar este paso puedes extraer la pieza gris por el momento.

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Ahora con la pieza gris de nuevo en su espacio pegamos la pieza de las reglas B-L-C sobre ella. Echamos el pegamento sobre la pieza de la regla, de forma que no quede pegamento sobrante sobre la pieza gris. Debemos intentar alinearla bien contra la regla D que ya tenemos pegada.

regla-de-cálculo--pegando-regla-b-l-cQueda la última pieza, la de las reglas K-A, que pegaremos sobre la pieza superior de la capa intermedia. De nuevo es importante que no caiga pegamento en la parte que permanece visible de la pieza gris. Para ello puede ser más sencillo si deslizamos esta pieza fuera para aplicar el pegamento. Además es importante alinear al 1 las reglas D y B-L-C, y también la nueva pieza de las reglas K-A cuando se fija en su lugar.

regla-de-cálculo--poniendo-pegamento-para-regla-k-a

regla-de-cálculo--pegando-alineada-la-regla-k-a

Después de presionar la pieza K-A para que se fije con el pegamento, hay que deslizar la pieza central a izquierda y derecha suavemente para que no se pegue con algún resto de pegamento y deslice suavemente.

regla-de-cálculo--comprobar-que-desliza-derecha

regla-de-cálculo--comprobar-que-desliza-izquierda

Y con esto tenemos lista nuestra regla de cálculo. Por ahora no hemos diseñado un cursor, dejamos esto a tu creatividad. En cualquier caso se puede utilizar cualquier regla para esta función.


¿Cómo funciona la regla de cálculo?

Comenzamos con multiplicaciones (usamos las letras C y D):

  • 2×3     Alineamos el 2 del D con el 1 del C, y nos fijamos con qué cifra del D coincide el 3 del C:          2×3=6

regla-de-cálculo--multiplicaciones-1

  • 2×8     Al alinear el 2 del D con el 1 del C, el 8 del C queda fuera de la regla. Cuando nos ocurre esto, tenemos que alinear el 2 del D, no con el 1 de C, sino con el 10 del C, para fijarnos de nuevo con qué cifra del D coincide el 8 del C:           2×8=16

regla-de-cálculo--multiplicaciones-2

Cuando tenemos distintos dígitos, o incluso decimales, hemos de saber la magnitud del resultado. La regla de cálculo nunca nos dice dónde iría la coma.

Vemos dos ejemplos, 11×25=275 y 1,1×2,5=2,75. Ambos se realizarían de igual manera, por lo que tenemos que saber la magnitud del resultado.

regla-de-cálculo--multiplicaciones-3

Para realizar divisiones se realizaría de forma inversa.

Por ejemplo, para hacer 6/3, tendríamos que hacer coincidir el 6 del D, con el 3 del C, para luego fijarnos con qué cifra del D coincide el 1 del C:           6/3=2

Vamos a ver cómo hacer cuadrados o raíces cuadradas (usamos las letras A y D, con la regla en posición inicial):

  • La letra A nos muestra el cuadrado del número que visualicemos en la letra D:           32=9
  • Así mismo, la letra D nos muestra la raíz cuadrada del número que visualicemos en la letra A.

regla-de-cálculo--raices-y-cuadrados-2

Intentamos ahora multiplicaciones dónde un multiplicando es un cuadrado (usamos las letras A, B y D):

  • 22x5    Alineamos el 2 del D con el 1 del B, y nos fijamos con qué cifra del A coincide el 5 del B:          22x5=20

regla-de-cálculo--multiplicando-cuadrado

Por último, veamos cómo hacer logaritmos en base 10 (usamos las letras L y D, con la regla en posición inicial):

  • La letra L nos muestra el logaritmo en base 10 del número que visualicemos en la letra D:           ln2=0.3

regla-de-cálculo--logaritmos

* Ojo! La escala de esta regla con la letra L es decimal, empieza en el 0.0 y acaba en el 1.0, pasando por 0.1, 0.2,… (pensad, que el logaritmo de 10 es 1).

Para más información, o instrucciones sobre otras operaciones, recomendamos visitar el siguiente vídeo. Es muy antiguo pero eso le da una autenticidad muy apropiada para esta herramienta.


 

 

Felicitación 2016 – Árbol de Navidad con paradoja de Deland

Felicitacion Navidad 2015

Este año queremos enviaros nuestros mejores deseos para 2016 con pequeño árbol de Navidad que sirve para realizar la conocida paradoja de Deland. Puedes encontrar información sobre esta paradoja en el libro Matemáticas, magia y misterio” de Martin Gardner. (RBA 2011). Con este árbol podrás hacer un juego de magia, en el que una de las velas rojas desaparece y se convierte en una blanca.

¿Cómo se construye el material?

Necesitas la hoja con las piezas del recortable, que puedes descargar aquí:

Árbol Divermates – Feliz 2016

Además necesitarás tijeras, pegamento y quizá 5 minutos. Verás que es muy muy fácil de construir.

Materiales necesarios

En el documento de tamaño A4 hay piezas para construir 2 árboles, porque hemos pensado que quizá, aprovechando el espíritu navideño, puedes construir un árbol para ti y otro para regalárselo a alguien, y además así podemos hacer que Divermates sea conocido por mucha más gente…

Nos fijaremos en las piezas de media página. Para empezar debes recortar las dos piezas verdes, con las que vamos a construir dos conos. En realidad la pieza de 3 estrellas amarillas no es necesaria, es solo un adorno que explicaremos al final.

Así que para empezar recortamos esas piezas:

Las piezas basicas

Con ayuda de una regla, o del borde de una mesa, curva las piezas para que empiecen a tomar la forma del cono. Es muy importante que NO dobles la lengüeta.

Piezas curvadas

Puede ayudar, antes de pegar, hacer un pequeño doblez en el vértice del cono, hacia la mitad, lejos de la línea de la lengüeta.

Pequeño doblez que ayuda

Extiende pegamento, mejor por la cara interior del papel, en la parte opuesta a la lengüeta.

Extender el pegamento por dentro

Y forma el cono haciendo coincidir el borde del papel con la línea punteada de color verde

pegando y alineando 1

pegando y alineando 2

Puedes ayudarte a dar un acabado perfecto al vértice presionando desde dentro con la punta de un bolígrafo.

Terminado del vertice con un boli

Realiza los mismo pasos con la otra pieza y ya tienes terminadas las dos partes importantes del árbol.

Las dos piezas listas

Debes poner el cono pequeño encima del grande pero NO LOS PEGUES, necesitamos que el superior pueda girar con respecto al inferior.

La paradoja de Deland

Primero colocaremos el cono superior, observando que una de las partes de vela blanca inferiores tiene debajo una estrella. Pues bien, haremos coincidir con esa parte una parte de vela blanca superior que también tiene una estrella encima, como se muestra en la imagen:

posicion inicial

Si ahora giras alrededor del árbol podrás contar 3 velas blancas y 5 velas rojas.

Ahora vamos a girar la pieza superior y la vamos a colocar en otra posición, en la que hacemos coincidir la parte inferior blanca con estrella, con una parte superior con estrella en la que solo se llega a ver la llama, como muestra la imagen:

posicion final

Si ahora cuentas las velas verás que una de las velas rojas se ha convertido en blanca, y tenemos 4 de cada color ¡¡¡MAGIA!!! Se puede apreciar muy bien si lo miras desde arriba:

IMG_7971_2

 Te dejamos a ti el placer de investigar dónde radica el secreto geométrico de este juego de magia.

¡¡Soy un valiente y quiero hacer la estrella!!

Para construir la estrella debes plegar la pieza en forma de acordeón, extender pegamento por la cara no impresa y formar una pieza como la que puedes ver en las fotos siguientes:

Plegar primero por los cuadrados IMG_7974

Despues en acordeon

ponemos pegamento

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La pieza con su forma final

Antes de que seque el pegamento, debes meter un palillo, o mejor aún la punta de un bolígrafo, para hacer un hueco en la parte inferior, por donde luego introducir la punta del cono:

Haciendo hueco para insertar el cono

Haciendo hueco para insertar el cono 2

Una vez hecho todo esto, recortamos la forma de la estrella en cada una de las 3 partes que hemos formado, y la colocamos en la punta del cono con un poco más de pegamento.

recortamos la estrella

Ponemos pegamento en la punta

Arbol finalizado

Esperamos que os divirtáis construyendo el árbol y enseñando a vuestros amigos lo curiosas y fascinantes que pueden ser las matemáticas.

Y por supuesto os deseamos un 2016 lleno de proyectos cumplidos, ilusión, alegría y muchas matemáticas divertidas.

Matemagia “Barras de sumas”

Barras de sumas Vamos a explicarte un juego de matemagia con el que parecerá que tienes excelentes habilidades de cálculo mental. Primero tendrás que construirte un material para poder hacer esta matemagia.

Descarga el documento con las piezas aquí.

¿Cómo se construye el material?

Lo primero que tienes que hacer es conseguir tijeras y pegamento, además de la hoja con las piezas.

IMG_7530Recortaremos todas las piezas. Hay dos tipos diferentes: unas de colores con números que formarán un prisma, y otras con líneas punteadas de dos formatos diferentes. Estas últimas no son imprescindibles, pero sirven para construir una especie de esqueleto que hacen las barras un poco más resistentes.

El primer paso es recortar todas las piezas, dejando cuatro de cada tipo. Fíjate que con cada pieza de números debe quedar una pestaña de color gris que servirá para pegar el prisma:

Piezas recortadas En las piezas de números hay que doblar todas las líneas punteadas:

IMG_7532Pieza con todos los doblecesY ahora pegar con cuidado aplicando pegamento en la pestaña de color gris:

Aplicando el pegamentoBarra pegadaLas piezas de esqueleto son un poquito más complejas. Lo primero que hay que hacer es doblarlas en acordeón, de forma que al cerrar formarían una estrella de 4 puntas:

EsqueletoEsqueleto con forma de estrellaAplicamos pegamento en toda la cara interior. De esta forma al pegar nos quedará una especie de “aspa-prisma” que nos servirá de esqueleto, dando rigidez a la pieza exterior:

Aplicando pegamento al esqueletoEsqueleto terminadoUna vez que tienes las dos piezas se inserta el aspa dentro del prisma, de forma que cada arista del aspa coincida con una arista del prisma. Quedará así una estructura bastantes sólida. Lo bueno es que se puede volver a desmontar, dejando cada pieza plana. Así, podrás llevar las piezas aplastadas en un libro o carpeta, protegidas durante el transporte.

Las dos piezas por separadoEncajando las piezasPieza terminada Construye de la misma forma cada uno de los cuatro prismas:

Barras de sumas ¡Ya estás listo para comenzar!

 

El efecto mágico

Pide a cualquier espectador que coloque las barras en el orden que quiera. Al colocar las cuatro barras juntas se formarán 5 números de 4 cifras, aparentemente azarosos. Hay en total más de 6000 formas de colocar las barras. Demuestra que eres capaz de calcular el resultado de la suma de estos números a toda velocidad, anunciando el resultado de un solo vistazo a las barras:

Montaje listo para adivinarEn este caso el resultado de la suma será 34873.

 

El Secreto

Las barras están construidas pensando en que los números 1º, 2º, 3º y 5º contando de arriba hacia abajo sumen 27. El total por tanto será 27 más el número que aparezca en 4º lugar. Dado que sumamos por columnas, y que cualquiera de ellas sumará 30 o más, de la primera columna nos llevaremos 3, que al sumarlo a la segunda nos dará 27 + 3 + el número en la 4ª casilla. Por tanto, para adivinar el resultado solo me tengo que fijar en el número que aparece en la 4ª fila. Quitamos 3 unidades a este número y le añadimos un 3 al principo. En nuestro ejemplo el número de la 4ª fila es 4876, y el resultado de la suma será por tanto 34873 (resto 3 unidades y añado ese 3 al principio).

La fila 4ª tiene el secretoEn realidad funciona igual si lo haces con más o menos barras, y también si te haces dos juegos de barras y lo llevas a cabo con 7, 8, 9… o la cantidad de barras que quieras. Si nos fijamos en el siguiente ejemplo, con 3 barras, el resultado final será 3873.

Ejemplo con 3 barrasPues esto es todo. Ya puedes fascinar a tus amigos haciéndoles creer que eres una auténtica calculadora humana. No te olvides de dejarnos un comentario si te ha gustado el juego de magia y te ha servido para cosechar éxitos como prestidigitador.