El armonógrafo y el dibujo del sonido

Un armonógrafo es un aparato mecánico que dibuja diferentes curvas utilizando únicamente el movimiento de distintos péndulos.

La idea del armonógrafo tiene su origen en el matemático Jules Antoine Lissajous (1822-1880) y su gran interés por el movimiento ondulatorio y las vibraciones del sonido. Se dice que lo que realmente buscaba Lissajous era dibujar el movimiento vibratorio provocado por el sonido. En sus primeros experimento hacía rebotar un rayo de luz en distintos diapasones, descubriendo así estas curvas tan inusuales.

Es a mediados del siglo XIX cuando nacen los armonógrafos, como una manera de analizar las vibraciones y, en concreto, de estudiar el sonido, de forma análoga a como lo había hecho Lissajous.

¿Cómo funciona?

Un armonógrafo sencillo utiliza dos péndulos para controlar el movimiento de un rotulador en relación con una superficie plana donde dibuja. Un péndulo mueve el rotulador y el otro péndulo la superficie de dibujo. Al variar la velocidad, la frecuencia y la fase de los péndulos, se crean diferentes patrones.

Los armonógrafos más complejos, pueden incorporar tres o más péndulos unidos entre sí y dibujar figuras más complejas.

Debido al rozamiento del rotulador y a que los péndulos van deteniéndose y cambiando sus oscilaciones poco a poco, tenemos como resultado trayectorías muy interesantes desde el punto de vista físico, matemático y artístico. Al estar unidos ambos péndulos por medio del rotulador y el dibujo, las velocidades y oscilaciones se van traspasando de uno a otro, haciendo que los dibujos cambien de forma.

Longitud de los péndulos

El tiempo que tarda un péndulo en realizar una oscilación sólo depende de la longitud del péndulo, no de su peso ni de la longitud del arco que recorre. Cuánto más largo sea el péndulo más tiempo tardará en oscilar (y menor será su frecuencia).

En concreto, la frecuencia de un péndulo varía inversamente con la raíz cuadrada de la longitud del péndulo. Es decir, que para triplicar la frecuencia de un péndulo, debemos reducir su longitud a la novena parte.

Como explicamos en nuestra conferencia y nuestro taller de música quebrada, dos sonidos suenan bien a nuestros oídos si la  frecuencia de uno es una fracción simple de la del otro. Es decir, una cuerda y la que mide 1/2, 2/3, o 3/4 sonarán bien entre sí. Debido a la relación entre el armonógrafo y la música (recordamos que surgió para “dibujar el sonido”), sólo cuando la relación entre las frecuencias de los péndulos sea igualmente una fracción simple dará como resultado una curva reconocible. En caso contrario, saldrán curvas caóticas que se alejan de la belleza de las curvas de Lissajous.

El peso del péndulo

Como ya hemos dicho, el peso no altera la frecuencia del péndulo, pero sí influye en el rozamiento. A mayor peso, menor rozamiento. Así, si el péndulo se detiene muy pronto, se puede aumentar su peso para que tarde más en pararse e igualmente a la inversa.

MÁS INFORMACIÓN

Martín Reina, D. (21 de septiembre de 2011). El armonógrafo [entrada en blog]. La Aventura de la Ciencia. Recuperado de http://laaventuradelaciencia.blogspot.com.es/2011/09/el-armonografo.html

Octaedro I Ching, un juego de matemagia

El I Ching o Libro de los cambios es uno de los libros más viejos del mundo del que se desconocen los orígenes. Durante más de 2000 años se ha utilizado en el Oriente como libro de adivinación, y todavía hoy se estudia con gran respeto como fuente rica en sabiduría. Decenas de miles de jóvenes que secundan el renacimiento actual del ocultismo consultan el I Ching con la misma seriedad que consultan la tabla Oiuja o las cartas del tarot.

La base combinatoria del I Ching consta de 64 hexagramas que muestran todas las permutaciones posibles de dos tipos de líneas, al tomarlas de seis en seis. Estos dos tipos de línea revelan la dualidad básica de la metafísica china: la línea cortada corresponde al yin y la línea continua al yang.

  • Tomando las líneas de dos en dos, hay 4 formas distintas de combinarlas (digramas).
  • Tomando las líneas de tres en tres, tenemos 8 formas distintas (trigramas).

Combinando los ocho trigramas, obtenemos los 64 hexagramas. Sustituyendo por un 1 cada línea continua, y por un 0 cada línea cortada, y tomando los hexagramas por orden, leyéndolos de arriba a abajo en cada uno se obtiene la sucesión 000000, 000001, 000010, 000011,…, 111111; que no es otra cosa que la de los números del 0 al 63 expresados en notación binaria. Hasta los tiempos de Leibniz no se reconoció este isomorfismo entre los hexagramas y la notación binaria.

Utilizando estos datos, vamos a comenzar nuestro juego de magia usando los ocho trigramas distintos. Para construir este juego nos hemos basado en un juego de Bob Hummer.

Construcción del octaedro I Ching

En Divermates hemos construido un octaedro con los ocho hexagramas con el que podrás realizar un nuevo truco de matemagia.

Para construir el octaedro I Ching sólo necesitarás tijeras, pegamento y el recortable que puedes descargar aquí:

Octaedro I Ching – Divermates

En cada pdf aparece el juego por duplicado, así podrás regalarle un octaedro a algún amigo. Cada juego consta de un octaedro plegable y un sobrecito para guardarlo.

Primero tendrás que recortar ambas piezas.

Comenzando por el octaedro, dobla por todas las líneas.

A continuación, echa pegamento en todas las solapillas para pegarlas como muestran las siguientes imágenes.


La figura resultante será un octaedro que puede plegarse y meterse en un sobre.

Para formar el sobre, únicamente tendrás que echar pegamento en las dos solapas.

¡Ya tenemos listo nuestro juego!

Realización del juego de magia

Antes de empezar, daremos a elegir a nuestro espectador uno de los ocho trigramas. Luego iremos moviendo el octaedro para saber en qué posiciones puede ver el trigrama elegido. En cada uno de estas posiciones nuestro espectador sólo tendrá cuatro trigramas visibles. Al final, con tres preguntas podremos adivinarlo.

Para facilitar la explicación de este juego, aquí os dejamos un vídeo con el procedimiento completo.

Numeración binaria

Otra opción para adivinar el trigrama seleccionado por nuestro espectador es usar la numeración binaria.

Si sustituimos, como dijimos antes, cada línea continua por un 1, y cada línea cortada por un 0, los ocho trigramas corresponden a los números del 0 al 7 en notación binaria.

Sólo tenemos que tener en cuenta la siguiente información:

La primera respuesta vale 1, la segunda respuesta vale 2 y la tercera 4. Esto se debe a que al utilizar la numeración binaria debemos usar las potencias de dos. Sabiendo esto, sólo tendremos que sumar estos valores cuando nuestro espectador responde SI.

Por ejemplo, si las respuestas de nuestro espectador son, en orden, NO-SI-SI, tendremos que sumar 0+2+4=6, obteniendo el lago.

Observa que la respuesta coincide con el método del video: NO-SI-SI corresponde a línea cortada-continua-continua.

BIBLIOGRAFIA

Fulves, K, (1988), Bob Hummer’s Colllected Secrets

Gardner, M, (2010), Rosqullas anudadas, Barcelona, RBA Libros.

Pla i Carrera, J, (2009), Liu Hui: nueve capítulos de la matemática china, Madrid, S.L. Nivola Libros y Ediciones.

Concurso de Cortos de Divulgación “Martin Gardner”

Tenemos una propuesta para ti: Coge tu móvil y cualquier libro que tengas de Martin Gardner. Busca quienes serán tus actores (menores de 19 años) y cuéntanos cualquier concepto de divulgación matemática que se trate en alguna de las obras de Martin Gardner.

No hace falta una gran producción, solo una idea ingeniosa y bien contada. Tienes que contarla deprisa, en menos de 10 minutos. No es imprescindible grabarlo con el móvil, si lo prefieres puedes hacerlo con cualquier técnica y con toda la calidad que desees.

Súbela a youtube y rellena los datos del formulario, y ya estás dentro del Concurso de Cortos de Divulgación “Martin Gardner”, organizado por el Ayuntamiento de Velilla de San Antonio, con la ayuda de Divermates y el apoyo de FECYT.

Bases y ficha de Inscripción al Concurso de Cortos de Divulgación Matemática.

También puedes elegir primero el tema y comprobar si Martin Gardner escribió sobre él, es muy probable. En internet pueden consultar su bibliografía. También puedes buscar si publicó algún artículo del tema que te gusta en su “columna matemática” de la revista Scientific American. Hay una lista completa de los títulos de los artículos aquí.

Esperamos vuestras propuestas como homenaje al más grande divulgador de las matemáticas, para terminar de conmemorar los 100 años de su nacimiento.

Marrtin Gardner con botella de Klein

Martin Gardner con botella de Klein

 

El defecto de Descartes

No, no… No es que Descartes fuera cojo o le faltase sentido del humor. El defecto de Descartes es un resultado matemático muy curioso que nos ha dejado tan alucinados que queremos compartirlo con vosotros.

  • Toma un sólido convexo (es decir, sin caras hundidas). No tiene por qué ser un poliedro regular.
    • Nosotros tomaremos un cubo como ejemplo.
  • Ve a un vértice. En ese vértice confluyen varias caras. ¿Qué ángulo forman las caras en ese vértice? Suma todos los ángulos que forman las caras en ese vértice.
    • En nuestro ejemplo, como las caras de un cubo son cuadrados, cada ángulo es de 90º. Como hay 3 caras en cada vértice, la suma es 90×3=270º.
  • Ahora réstaselo a 360º. A esto se le llama DEFECTO (porque es lo que falta para rellenar el espacio por completo)
    • 360º – 270º = 90º
  • Haz lo mismo con todos los vértices y suma los resultados.
    • Un cubo tiene 8 vértices (todos iguales porque es un poliedro regular), así que 8 x 90º = 720º

Pues lo sorprendentes es que este resultado final (720º) es el mismo, ¡¡¡¡elijas el poliedro que elijas!!!!

¿No te lo crees? (bien, eso indica que tienes mente científica) Puedes encontrar la demostración matemática de este fabuloso resultado en el blog de Gaussianos.

Lo que te dejará con la boca abierta es que este resultado está directamente relacionado con la Fórmula de Euler, que puedes convertir en un juego de adivinación.

La mágica fórmula de Euler

 

Vamos a hacer magia matemática:

  • Dibuja un garabato sin levantar el lápiz del papel, de forma que la línea que dibujes se corte consigo misma. Deja el principio y el final de la línea bien visibles.
  • Esta es la predicción que vamos a hacer: C+V=A+2
  • Cuenta los nodos, es decir, los puntos en los que la línea que has dibujado se corta consigo misma. Incluye también el comienzo y el final de la línea. A esta cantidad la llamaremos V.
  • Cuenta las zonas en las que ha quedado dividido el papel, incluyendo la zona exterior. No te dejes ni un hueco. A este número le vamos a llamar C.
  • Ahora cuenta los segmentos en los que ha quedado dividida la línea que has trazado. No olvides el principio y el final de la línea. A este número lo llamaremos A.
  • ¿Se ha cumplido la predicción? ¿Te da C+V=A+2?

garabato 2

Probablemente te suene el resultado si conocías ya la fórmula de Euler es (para cualquier poliedro convexo, es decir, uno que no tenga caras hundidas):

Caras + Vértices = Aristas +2

Lo único que estamos haciendo es aplicar esta fórmula a un garabato. ¡Y funciona!, ya que funciona también para grafos y los poliedros convexos pueden representarse como tal. Puedes ver la demostración matemática si te interesa.

Para hacerlo más divertido puedes hacerlo con una cuerda.

Si te gusta mucho y lo quieres contar para niños, aquí os dejamos el cuento infantil El Garabato de Euler, de los Cuentos Matemáticos de Alicia. Y nos depedimos con la moraleja del cuento:

Ni todos los niños son iguales, ni todos los garabatos son insignificantes

 

Un juguete áureo

¿Sabías que en el interior del icosaedro se intersecan tres rectángulos iguales? ¿Y que esos tres rectángulos son áureos?

En Divemates hemos querido comprobarlo y hemos construido un icosaedro intersecando tres tarjetas de crédito, que como ya sabemos los DNIs, las tarjetas de crédito, la tarjeta de socio de la Fnac, la del gimnasio, etc., son rectángulos áureos. Y aquí tenéis el resultado.

 Icosaedro hecho con palillos de los oídos, hilo de pescar y tarjetas de crédito
Icosaedro áureo

¿Quieres hacerte uno? Así lo hicimos:

  • Consigue 3 tarjetas de crédito inservibles y recórtalas para intersecarlas como ves en la figura(*).
  • Recorta palillos de los oídos del ancho de la tarjeta (30 palillos de 5.4cm) para las aristas.
  • Pegamos con celo las aristas que van en el lado corto de la tarjeta.
  • Unimos el resto de los palillos con hilo de pescar por dentro (¿Podríamos pasar el hilo una única vez por cada arista?… Esto es un rompecabezas matemático)

(*) Para que encajen bien, no basta con hacer un corte en el lugar en el que irá la otra tarjeta, hay que hacer una ranura, es decir, quitar una parte de al menos el grueso de la tarjeta que vayas a insertar ahí. En dos de las tarjetas puedes no hacer corte desde el lado hasta la ranura, pero en una de ellas necesitarás hacer este corte para poder encajar las tres tarjetas.

Ábaco Neperiano

En el Museo Arqueológico Nacional, cada domingo del mes de Octubre (2014) explicamos el funcionamiento del Ábaco Neperiano. La entrada es gratuita, empezamos a las 11:30 y dura media hora.

abaco

Se trata de la herramienta de un calculista hecha obra de arte, única en el mundo, que se expone en el Museo Arqueológico Nacional.

El Ábaco Neperiano consta en realidad de dos ábacos que nada tienen que ver con el conocido ábaco de bolas o ábaco chino. Son “Los Huesos de Neper” y el “Ábaco Promptuario”. A veces al segundo se le llama “Rabdológico”, en referencia al libro en el que viene descrito, Rabdologiae, pero en realidad ambos vienen descritos en este libro escrito por Neper y publicado en 1617 al poco tiempo de su muerte.

Descripción

El armario que los contiene es una obra artesanal en oscura madera de palosanto reforzado con bordes de latón, con incrustaciones de marfil con finos detalles ornamentales.

puerta-izq

Consta de tres partes fundamentales. En la parte superior, una tapa deslizante da acceso al hueco donde están las piezas del ábaco llamado Huesos de Neper, que son unos prismas de base cuadrangular que explicaremos después. La parte central es un armario con dos puertas que se cierran con llave, tras las cuales se abren tres columnas de diez cajones cada una bellamente decorados con frontales de marfil. En una de las puertas se puede apreciar el escudo de la orden de los Jerónimos, que en época de Felipe II estaban en el Monasterio de El Escorial. En estos cajones están las piezas del ábaco llamado Promptuario. Por último, de la base se extrae un cajón que se cree que sirve a modo de mesa, para realizar las operaciones.

Todo el conjunto hace pensar que fue la obra de un artesano que siguió fielmente las instrucciones del libro Rabdologiae y que era un regalo para alguien que no era un simple calculista, sino que sabía apreciar la belleza de la obra.

Método para calcular

En la época no era habitual saber sumar o multiplicar. Sólo unos pocos tenían ese privilegio y John Neper era uno de ellos.

Los Huesos de Neper fueron diseñados como herramienta para multiplicar por el “método de celosías”, que es el sistema de multiplicación que se hizo popular en la época. De este método procede el algoritmo de multiplicación que aprendemos actualmente en el colegio.

Figura 1 - Ejemplo multiplicacion celosia

Pongamos un ejemplo para ilustrar el método de las celosías. Para multiplicar 325×47, construimos una tabla en la que colocamos 325 en la primera fila y 47 en la última columna, como se muestra en la Figura 1. Añadimos el resultado del multiplicar 3×4 en la celda correspondiente a la columna del 3 y la fila del 4; el resultado de multiplicar 2×4 en la celda correspondiente a la columna del 2 y la fila del 4, teniendo cuidado de poner las decenas en la parte superior de la celda y las unidades en la inferior; y así sucesivamente. Sumamos en diagonal, empezando como se hace hoy día, por la derecha, esto es, la primera cantidad es 5, la segunda es 0+3+4, la siguiente es 2+8+1+1 (nos quedaríamos con la cantidad de unidades y nos “llevamos” el 1, correspondiente a las decenas, para añadirlo a la suma siguiente) y por último quedarían 0+2+2+1 y el 1 final. Así el resultado es 15275.

Los Huesos de Neper

Se llaman así no porque sean los huesos del difunto Neper, sino porque los inventó él y porque están realizados en hueso de marfil.

Figura 2 - Huesos de napier ejemplo de uso-CORREGIDO

Los Huesos de Neper sirven para multiplicar por el método de las celosías. En cada cara se encuentra el resultado de multiplicar el número que aparece en el extremo por los números ordenados del 1 al 9, esto es, la tabla de multiplicar del número que aparece en el extremo. En la figura 2 podemos ver cómo sería multiplicar 57586 por 4 con los Huesos de Neper.

Además, ingeniosa e inteligentemente, los números que aparecen en las caras opuestas de un mismo prisma están elegidos de forma que suman 9, están colocados de manera que hay dos caras en posición inversa a las otras, para encontrar el que se necesita con mayor rapidez, puesto que esos números están indicados en los bordes de las varillas o prismas. Por tanto, los Huesos de Neper demuestran ser una herramienta muy útil y efectiva para la multiplicación de cualquier número por una cifra.

El ábaco Promptuario

Por si lo anterior no fuese suficiente contribución, tenemos el Ábaco Promptuario, formado por regletas de dos tipos, unas con números y otras con perforaciones triangulares (ver figura 3). Este ábaco mejora al anterior, ya que permite multiplicar por más de una cifra, aunque este utensilio no se hizo tan popular.

Figura 3 - Abaco promptuario

La regleta de números (izquierda en la Figura 3) tiene casillas similares a las de los Huesos de Neper, con los números de las casillas triangulares correspondientes a la tabla de multiplicar del número superior, pero colocados de una manera no tan obvia. En esta colocación, al superponerle una de las regletas perforadas (derecha en la Figura 3) perpendicularmente, veríamos estos productos en los huecos (sombreado en la Figura 3).

Figura 4 - Ejemplo uso promptuarioEn la Figura 4 vemos cómo se colocar estas regletas para realizar la multiplicación que proponíamos al principio como ejemplo para comprender la multiplicación por celosías. De este modo, el Ábaco Promptuario creado por Neper resuelve la multiplicación por varias cifras de cualquier número con sólo estas regletas, sin necesitar nada más.

Haz tu propio ábaco

Aquí podéis descargar un Ábaco Promptuario para poder hacer multiplicaciones muy largas sin necesidad de saber multiplicar.

Fotos del ábaco y de las exposiciones hechas en el Museo Arqueológico Nacional

Aquí podéis encontrar algunas fotos del ábaco, detalles que si no habéis ido a verlo harán que quieras ir. Y también de momentos de la exposición, en los que podéis ver el alto interés que muestran tanto grandes como pequeños y la expectación que crea esta pieza única en el mundo.

La vitrina de Divermates

Vitrina de Divermates

Vitrina de Divermates

Cuando la gente entra en Divermates suele quedarse un rato mirando la vitrina. Da igual si viene la cartera, un profesor o un niño. Nuestra vitrina sorprende porque está llena de objetos variados que uno supone que están relacionados con las matemáticas (y así es), pero a veces no es fácil ver de inmediato lo que les une.

En la vitrina de Divermates hay matemáticas divertidas y curiosas. Están varias de las construcciones que hemos hecho con pajitas (como una cúpula geodésica, poliedros, etc.), hay origami, rompecabezas hechos con diversos materiales (algunos comprados, otros hechos por nosotros mismos), instrumentos de astronomía, cajas de música, un libro de logaritmos (con el que se comprueba la Ley de Benford), una regla de plástico que suena, libros de Escher, un cono que indica la mitad de su volumen, un mono que multiplica, varios fósiles y minerales…

La vitrina de Divermates es nuestro gabinete de curiosidades. Los gabinetes de curiosidades (también llamados cuarto de maravillas, o Wunderkammern en alemán o Wonder Chambers en inglés) son los antecesores de los museos. Nacieron en los siglos XVI y XVII, en la época de las grandes exploraciones y descubrimientos. Hoy día hay mucha gente que lo sigue haciendo, al ser humano le gusta coleccionar.

Algunos museos de Matemáticas:

  • Museo de Matemáticas de Cataluña: MMACA
  • Museo de Matemáticas de Nueva York: MOMATH
  • Museo de Matemáticas en Oporto (Portugal): Atractor
  • Museo de Matemáticas en Giessen (Alemania): Mathematikum
  • Museo de Matemáticas en Florencia (Italia): Giardino di Archimede
Musei_Wormiani_Historia

Musei_Wormiani_Historia

3.14: Día de Pi y de Sierpinski

Hoy es el día de π (Pi), pero también Wacław Franciszek Sierpiński nació un 14 de Marzo. Doble motivo para los amantes de las matemáticas. Y para celebrarlo, aquí os dejamos un problema para que lo penséis:

En un bote hay tres pelotas de tenis. ¿Se puede averiguar sin medir si la longitud de la tapa de la circunferencia del cilindro es mayor o menor que el alto del bote?

¿Se puede averiguar sin medir si la longitud de la circunferencia de la tapa del cilindro es mayor o menor que el alto del bote?

¿Se puede averiguar sin medir si la longitud de la circunferencia de la tapa del cilindro es mayor o menor que el alto del bote?

 

Icosaedro áureo

¿Sabías que en el interior del icosaedro se intersecan tres rectángulos iguales? ¿Y que esos tres rectángulos son áureos?

Nosotros hemos querido comprobarlo y hemos construido un icosaedro intersecando tres tarjetas de crédito, que como ya sabemos los DNIs, las tarjetas de crédito, la tarjeta de socio de la Fnac, la del gimnasio, etc., son rectángulos áureos. Y aquí tenéis el resultado.

 Icosaedro hecho con palillos de los oídos, hilo de pescar y tarjetas de crédito

Icosaedro áureo

¿Quieres hacerte uno? Así lo hicimos:

  • Consigue 3 tarjetas de crédito inservibles y recórtalas para intersecarlas como ves en la figura(*).
  • Recorta palillos de los oídos del ancho de la tarjeta (30 palillos de 5.4cm) para las aristas.
  • Pegamos con celo las aristas que van en el lado corto de la tarjeta.
  • Unimos el resto de los palillos con hilo de pescar por dentro (¿Podríamos pasar el hilo una única vez por cada arista?… Esto es un rompecabezas matemático)

(*) Para que encajen bien, no basta con hacer un corte en el lugar en el que irá la otra tarjeta, hay que hacer una ranura, es decir, quitar una parte de al menos el grueso de la tarjeta que vayas a insertar ahí. En dos de las tarjetas puedes no hacer corte desde el lado hasta la ranura, pero en una de ellas necesitarás hacer este corte para poder encajar las tres tarjetas.