Topología

Un rompecabezas topológico de Fibonacci


Ya estamos de vuelta de las vacaciones, y en este mes de vuelta a clase nos gustaría retomar el curso con un rompecabezas topológico casero.

La topología puede parecer una parte algo compleja de las matemáticas cuando no has estudiado matemáticas a fondo. Nosotros en Divermates tenemos un taller dedicado exclusivamente a esta rama de las matemáticas, para niños de segundo de primaria. A priori puede parecer una locura tratar de hacer entender mínimamente a un alumno de 7 años lo que es  la topología, pero nosotros asumimos el reto, y, a día de hoy, podemos presumir de conseguirlo.

Formalmente la topología estudia las propiedades de las figuras que permanecen invariantes al ser sometidas a ciertas transformaciones, de forma que no aparezcan nuevos puntos o nuevos “agujeros”. Es la geometría donde solo nos interesamos por la forma, sin atender a la medida.

En nuestro taller hablamos de la cinta de Möbius, cuya particularidad es tener un único un borde y una única cara. Al principio a los alumnos les parece una locura. Pero después de hacer distintos juegos y actividades entienden perfectamente este concepto.

Pero no es la banda de Möbius lo más interesante de la topología. Hay muchos problemas que han tratado grandes matemáticos a lo largo de la historia. Tenemos los puentes de Konigsberg, famosos problemas de nudos, el teorema de los cuatro colores, la botella de Klein, grafos… Os animamos a profundizar sobre estos juegos, modelos y problemas.

Sin embargo, la topología más al alcance de todos es quizá la que esconden los juegos topológicos de madera o metal. Seguramente alguna vez has visto alguno de estos juegos, donde aparecen elementos unidos por cuerdas que a simple vista parecen imposible de separar. Estos juegos topológicos ayudan a desarrollar la visión espacial, despertar la curiosidad y potenciar la paciencia y resolución de problemas con ingenio.

Os mostramos a continuación algunos de una colección muy especial:

¿Te gustaría construirte tu propio rompecabezas de papel?

Se cuenta que Chandlahuri, un sirviente indio de Fibonacci, regaló un rompecabezas como este al matemático pisano. Este rompecabezas fue llamado por Fibonacci como “lo joco enimmatico del brachiale torquato“, es decir, “el juego enigmático del brazalete retorcido”.

¿Te has fijado en el diseño del rompecabezas? En honor al gran Fibonacci hemos querido dejar plasmada la sucesión que lleva su nombre en el brazalete: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55… Esta sucesión tiene muchas propiedades matemáticas, como, por ejemplo, la construcción de la espiral áurea que también podrás observar en el rectángulo.

Para construirtelo sólo necesitarás, tijeras, pegamento, un cordón de unos 25-30 cm. y el recortable que puedes descargar aquí:

Rompecabezas Topológico – Divermates

Como vamos a hacer un juego que vamos a manipular mucho con las manos te recomendamos construirlo con cartulina.

Lo primero que hay que hacer, como siempre, es recortar todas las piezas. Nuestro juego consta de un cuadrado, un rectángulo áureo y dos tiras onduladas. Observa que el cuadrado tiene un agujero en el centro, y que ambas piezas cuadriláteras tienen una cruz por donde deberá pasar la cuerda.

A continuación pegamos las dos tiras, poniendo pegamento solamente en las solapillas. Fijaos bien en dejar las tiras bien entrelazadas una con la otra, pero solo pegadas por los extremos.

Una vez tenemos nuestra pieza principal, la unimos a los cuadriláteros de la siguiente manera:

  • Primero anudamos la cuerda y la pasamos por la cruz del rectángulo.

  • A continuación hacemos pasar la cuerda por el agujero del centro del cuadrado.

  • Llevamos la cuerda por los dos huecos extremos de nuestro brazalete.

  • Y para terminar, la pasamos por la cruz del cuadrado para terminar haciendo un nudo.

¡Ya tienes tu rompecabezas topológico listo!

Ahora solo te queda aprender a deshacerlo, sin despegar las piezas, claro. ¿Eres capaz de separarlas estudiando únicamente los enredos de la cuerda y los agujeros de las piezas?

Pista:

los agujeros en este juego, como en casi todos los de este tipo, son clave.

¡Ánimo con ello! Tanto si lo consigues, como si tienes dudas, no dudes en dejarnos un comentario.

BIBLIOGRAFIA

Sarcone, G.A. (1997-2017). Torquato Puzzle: Archimedes Laboratory Project. Recuperado de aquí.

 

 

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La trenza imposible

¿Y tú cómo haces la trenza Joan Miquel?

¿Y tú cómo haces la trenza Joan Miquel?

¡Qué divertido ha sido veros a todos con la trenza! Lo mejor es la cara de satisfacción cuando al fin se consigue. Y es que ¿quién puede resistirse a un rompecabezas?  Este es muy sencillo, se trata de tres tiras unidas por ambos extremos y hay que hacer una trenza.

Hicimos cerca de 200 y los repartimos a los asistentes a las JAEM2013. Y todos disfrutaron haciendo y deshaciendo la trenza una y otra vez. Alguno hubo que incluso sacó su propio algoritmo.

Otros, como el Mago Moebius, que tiene materiales topológicos con un material muy similar, nos propuso un desafío: ¿Se podría con un número de tiras mayor que 3? La respuesta os la dejamos pensar un poco, que nosotros ya tenemos un caso en que se puede. La solución la tendréis colgada en breve.

Mientras, aquí tenéis una foto del rompecabezas en la posición inicial (blanco) y ya resuelto (morado)

Rompecabezas trenza Divermates

Referencias:

La idea la sacamos del libro “¡Ajá! Paradojas que hacen pensar” de Martin Gardner (ISBN:978-84-473-5331-6), en el que cuenta la solución y da las referencias de donde él sacó la idea:

  • Artículo de A. H. Shepherd, “Braids wich can be plaited with their threads tied together at each end” (“Trenzas que pueden tejerse con sus cabos ligados entre sí por sus extremos”), en los “Proceedings of the Royal Society”, A, vol.265 (1962), pp.229-244.
  • Capítulo “Trenzas y teoría de grupos” del libro “Nuevos pasatiempos matemáticos” de Martin Gardner.

También la hemos visto en “Bricológica. Treinta objetos matemáticos para construir con las manos”, de Robert Ghattas, de Ediciones Rialp (ISBN: 978-84-321-3909-3)

 

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Taller de Creatividad en la URJC

Va la gente a apuntarse a unos talleres de creatividad (alumnos de la Universidad Rey Juan Carlos). Tienen que elegir entre uno de los siguientes:

  • Creatividad en el aula
  • Creatividad en la cocina
  • Creatividad en las flores
  • Creatividad en las letras
  • Creatividad en matemáticas

¿Cuál fue el único en el que quedaron plazas libres? Sí, el de mates. Está claro que a la gente le producen un rechazo absoluto (sin desmerecer a los otros talleres).

Lo bueno fue comprobar también que hubo bastante gente que al acabar alguno de los otros talleres, se pasaron a ver qué hacíamos en el mates… ¡Y se quedaron!

Claro, que hicimos un taller bastante chulo con matemagia, sugumáticas, un cortapizzas, gominolas, una varita que flota, topología para atravesar una puerta por la que no cabes … y todo sin usar números

 

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Puentes de Könisberg

La Teoría de Grafos puede comprenderse desde edades muy tempranas, así lo demuestran nuestros alumnos más pequeñines de nuestros extraescolares.

¿Qué grafos son resolubles y cuáles no? ¿Qué significa ser euleriano? ¿Quién fue Euler? ¿Qué problema tenían en la ciudad de Könisberg?

Estas y otras preguntas tuvieron sus respuestas en clase:

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Puentes de Könisberg

Los Puentes de Könisberg es un problema bastante famoso entre los matemáticos, ya que la búsqueda de una solución dio lugar a la Teoría de Grafos, en la que se estudian, entre otros, los caminos mínimos.

Los alumnos de 3º de primaria de este grupo, se enfrentaron al problema, descubrieron que no tiene solución, se les habló de qué es un grafo y para qué se utiliza y dedujeron qué grafos son resolubles y cuáles no, llegando a la conclusión ellos mismos sobre las características que deben cumplir los vértices de un grafo para que éste sea resoluble. Por último, crearon un grafo con “limpiapipas” que se llevaron a casa como recuerdo de esta actividad.

Este día, además, se les repartieron sus propias barajas y aprendieron el juego de los tres montones, en el que hay matemáticas implicadas, pero no os revelaremos el secreto a menos que seáis matemagos 😉

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