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Una regla para dibujar espirales logarítmicas y deshacer mitos

Una regla para dibujar espirales logarítmicas y deshacer mitos

¿Quién no ha escuchado alguna vez que la espiral áurea la podemos encontrar en la forma de la concha del nautilus? ¿Qué nos diríais si os demostráramos que esta afirmación es completamente falsa?

Empecemos por el principio. ¿Qué es una espiral? En nuestro taller de “espirales”, destinado a alumnos de 4º de primaria, explicamos que una espiral se consigue combinando dos tipos de movimiento: uno circular alrededor de un punto, y uno lineal alejándose de dicho punto. De esta forma, una espiral es una línea curva generada por un punto que se va alejando progresivamente de un centro a la vez que gira alrededor de él. Con muchos ejemplos y varios métodos diferentes, los alumnos diferencian y dibujan espirales arquimedianas y logarítmicas.

Por otro lado, en nuestro taller «creciendo en proporción», destinado a 1º de la ESO, hablamos de la sucesión de Fibonacci y del número áureo. Después de ver montones de ejemplos que aparecen por sí solos en la naturaleza, los alumnos quedan fascinados con la magia de este número. Una vez presentado el número áureo, mostramos los rectángulos áureos y, también, las espirales áureas.

Aunque, como hemos dicho, en muchos libros y artículos relacionan la espiral dorada con la espiral del nautilus, si medimos con un calibre, o comparamos ambas espirales, vemos rápidamente que esta información es errónea. En la imagen puede verse cómo claramente ambas espirales no coinciden. Las dos espirales son logarítmicas y, además, están relacionadas con el número áureo, pero tienen diferente razón de crecimiento. Empiezan y terminan en el mismo punto pero el nautilus va abriéndose mucho más lentamente, es decir, da más vueltas hasta llegar al punto final.

Una regla que dibuja espirales

Basándonos en un método explicado por el gran Martin Gardner en su libro «El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos», en Divermates hemos querido enseñaros cómo construir una regla con la que podréis dibujar las dos espirales que queremos comparar y que tanta controversia han dado en el mundo de las matemáticas. En este libro Gardner nos enseña cómo fabricarnos una regla para construir espirales logarítmicas.

El ángulo a puede tomar cualquier valor entre 0º y 180º. Si escogemos exactamente un ángulo de 90º, estaremos dibujando una circunferencia, y si usamos un ángulo de 74º39′, la espiral resultante sería su propia envolvente. En nuestra regla hemos aprovechado los dos extremos para realizar dos espirales distintas. Justamente hemos seleccionado los ángulos que nos dibujarán las dos espirales a comparar: la espiral áurea y la espiral del nautilus.

Para construirte esta regla sólo necesitarás pegamento, tijeras, y las reglas que podrás descargarte aquí:

Regla para espirales (rectificada)

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Recomendamos imprimir la regla en cartulina, para tener más rígidez. En cada copia vienen cuatro reglas. Lo primero que tienes que hacer es separar una de ellas, recortando el rectángulo por la línea más gruesa.

A continuación vamos a doblar por la línea de puntos y echar pegamento por la parte de atrás. Esto lo haremos para pegar doble capa de cartulina y así reforzar nuestra regla.

Por último, ya con la doble capa hecha, vamos a recortar la forma exacta de la regla.

¡Ya tienes tu regla! Sigue leyendo para entender cómo funciona.

¿Cómo funciona?

Lo primero que tenemos que hacer es marcar el polo de nuestra espiral. Una vez marcado vamos a mover la regla dejando el borde interno siempre sobre este polo. Lo más sencillo es clavar una aguja o un alfiler para apoyar la regla sobre él. A partir de aquí, iremos trazando pequeños segmentos apoyándonos en la recta oblicua mientras vamos girando nuestra regla en torno al polo, en dirección horaria o antihoraria. Es importante que al girar la regla siempre tengamos el borde interno situado tocando el polo. Además, tenemos que dibujar estos segmentos uniendo cada uno con el siguiente. El mecanismo asegura que todas estas cuerdas corten el radio vector formando el mismo ángulo. Es exactamente este hecho el que hace que la regla funcione, ya que al ser la espiral logarítmica una espiral equiangular, el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.

Al dibujar nuestra espiral con pequeños segmentos se produce un efecto que se asemeja mucho a la forma en que muchas arañas tejen su tela.

Espiral áurea y espiral del nautilus

Una vez que dibujadas ambas espirales puedes observar y comprobar sus diferencias.  En la imagen puedes ver en rojo la espiral áurea y en verde la espiral del nautilus.

En el lado exterior de la regla hemos incluido, a cada lado, una cota con el crecimiento de ambas espirales. Podrás encontrar un punto en tu espiral donde, al poner el punto medio de la cota sobre el polo, las longitudes hasta las ramas de la espiral a cada lado coincidirán con las cotas. Como ves, ambas están relacionadas con el número de oro, una con phi y la otra con su cuadrado.

Al ser en la espiral del nautilus la proporción 1 al número de oro, si tenemos a mano un compás áureo podemos comprobar que esta proporción se cumple en todos los puntos de la espiral. Nosotros lo hemos comprobado con el compás áureo de Divermates.

¿Y entonces por qué se han relacionado siempre estas dos espirales como iguales?

No está muy claro. En el libro Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes, de Matila C. Ghyka, se habla de la relación del número de oro con el crecimiento de la concha de diferentes moluscos, pero distingue tres tipos de espirales.

  • En la primera, la pulsación radial es el número de oro. Esta pulsación radial se refiere a la relación entre las distancias al dar una vuelta y la siguiente, en una misma dirección.

OC/OB=ϕ

  • En la segunda, la pulsación diametral es el número de oro. Esta pulsación diametral se refiere a la relación entre las distancias a un punto y al punto diametralmente opuesto siguiente, situado a 180º. Justo esta espiral es la correspondiente al nautilus.

OD/OD´=ϕ

  • En la última, la pulsación cuadrantral es el número de oro. Esta pulsación cuadrantal se refiere a la relación entre las distancias a un punto y al siguiente punto situado a 90º. Al tener pulsación cuadrantal ϕ, esta espiral tendrá pulsación diametral ϕ2, por lo que es justo la espiral de Durero.

OD/OD´´=ϕ

Posteriormente, en el cortometraje Donald en el país de las matemáticas, lanzado en 1959, el “señor Espíritu” enseña a Donald el número de oro y las proporciones áureas. Llega un momento en el que con la ayuda de la concha del nautilus, el Espíritu explica que las proporciones mágicas de la sección dorada son a menudo encontradas en las espirales de los diseños de la naturaleza. En realidad, lo que muestra en el fotograma de la imagen es que los segmentos naranjas, los verticales, están todos en proporción áurea. A partir de esos segmentos completa la espiral haciéndola coincidir con la espiral del nautilus. En realidad, las relaciones indicadas son correctas, pero desde Divermates creemos que ha podido dar lugar a que muchos espectadores relacionen directamente la espiral del molusco con la espiral áurea, aunque no sea correcta esta igualdad.

Como vemos, efectivamente la espiral del nautilus está relacionada con el número áureo. Dicha relación ha podido llegar, con el paso de los años, de libro en libro y artículo en artículo, a relacionar, erróneamente, la espiral del nautilus con la espiral áurea.

En cualquier caso, esta falsa relación nos parece un buen ejemplo con el que enseñar a los más jóvenes que las matemáticas, y la ciencia en general, deben buscar el pensamiento crítico, y que se debe cuestinar y comprobar todo, incluso lo que muchas veces damos por cierto solo por haberlo leído en muchos libros o páginas web.

 

Notas

Lo más importante de la ciencia es que todos nos revisamos continuamente para ser lo más rigurosos posibles. Ante la publicación de nuestra entrada sobre la espiral áurea y la del Nautilus hemos recibido un comentario de José R. Galo Sánchez señalando que nuestra aproximación no es la más ajustada. A pesar de recogerse en alguna bibliografía (Fletcher, R. (Feb 1988). Proportion and the Living World. Parabola,13 (1)), parece ser que la pulsación diametral 1:phi que incluimos en nuestro artículo no es la mejor aproximación a la espiral de la concha del Nautilus. Como José R. Galo Sánchez indica en su artículo (Galo Sánchez, J.R., Cabezudo Bueno, Á., y Fernández Trujillo, I. (2016). Sobre la forma y el crecimiento cordobés del Nautilus Pompilius. Épsilon, 33 (94),81-110.) el factor de crecimiento del Nautilus es 3 o próximo a 3 (lo que supondría una pulsación cuadrantal r=1,31607), por lo que realmente la espiral cordobesa se ajustaría con mucha más precisión (pulsación cuadrantal 1,3065 frente nuestra pulsación cuadrantal sqrt(phi)=1,2720).

Puedes descargarte una nueva regla que hemos diseñado donde podrás comparar estas dos espirales:

Regla espiral cordobesa

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BIBLIOGRAFIA

Gardner, M. (2018), El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos, Madrid, Alianza Editorial

Ghyka, M. (1946), The geometry of Art and Life, Dover Publications

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Curiosidades, 3 comentarios
Felicitación Navideña – Calendario 2019

Felicitación Navideña – Calendario 2019

Con la llegada de estas fiestas tan esperadas queremos desearos un feliz año nuevo con un calendario que podréis llevar en el bolsillo. Os presentamos nuestro calendario-flexágono, con el que tendréis los doce meses del año en un único trozo de papel cuadrado. Pero cuidado, al principio sólo podrás ver cuatro meses, ¡el resto permanecerán ocultos hasta que llegue el momento adecuado!

¿Qué es un flexágono?

Un flexágono es una construcción, generalmente de papel, con forma de polígono. Cada cara contiene varias capas de papel «entrelazadas», de forma que al doblar por los lugares adecuados podemos encontrar otras caras de papel que al principio estaban escondidas. Digamos que es un trozo de papel que tiene más de dos caras. Pero los flexágonos no son solo un divertido pasatiempo, también son un objeto matemático que despertó mucho interés en el ámbito de la geometría y la topología.

Estas figuras fueron descubiertas en 1939 por Arthur Stone, quien descubrió el flexágono de seis lados. Arthur estudiaba matemáticas en la Universidad de Princeton, en Estados Unidos, donde el tamaño de los folios era mayor que el utilizado en Inglaterra. Cuentan que un día, al cortar sus apuntes para que entraran en una carpeta inglesa, se puso a plegar distraídamente las tiras de papel sobrantes. Fue así como logró, de forma accidental, construir un flexágono. Este primer flexágono, denominado actualmente “trihexaflexágono”, constaba sólo de tres caras, es decir, las dos visibles más una oculta. Al mostrarlo a otros profesores y amigos rápidamente se formó el «Princeton Flexagon Committee», que se dedicó a estudiarlos. Entre sus miembros estaba, entre otros, el científico Richard Feynman. Ellos decidieron llamar a este objeto flexágono, seguramente de la unión de flexar y polígono.

No existe únicamente este flexágono. El mismo Stone consiguió construir al día siguiente un nuevo flexágono con un total de seis caras, denominado actualmente “hexahexaflexágono». Aunque los más populares son los flexágonos con forma de hexágono o rectángulo, actualmente conocemos muchos otros, con formas muy diversas, y escondiendo cada uno distinta cantidad de caras en su interior.

Como hemos dicho, nuestro calendario es un cuadrado, es decir, un flexágono de cuatro lados. En él tenemos dos caras visibles más cuatro ocultas. A este flexágono se le conoce como “hexatetraflexágono”:

  • Hexa: seis caras.
  • Tetra: cuatro lados.
  • Flexágono.

Calendario 2019

Para construir este calendario sólo necesitarás tijeras, cúter y regla, pegamento y la plantilla que puedes descargarte aquí:

Calendario 2019 – Divermates

Lo primero que tenemos que hacer es dejar lista nuestra pieza de papel inicial, previa al doblado que nos formará el flexágono. Esta pieza consistirá en un cuadrado de 4×4, con un hueco central de 2×2, como muestra la imagen. Además, tendrá imagen por ambas caras.

Para empezar, tenemos que quitar todas las partes blancas de la hoja. Para ello, recortaremos por el borde, pero también la H central. En esta H central no basta sólo con hacer un corte con el cúter, pues tendremos que sacar la tira blanca con todo su grosor. Este detalle es importante para que después cambiar entre las caras de nuestro flexágono sea más sencillo. Cuidado, la línea blanca discontinua NO hay que recortarla.

A continuación doblamos, hacia atrás, por las cuatro líneas discontinuas.

Por último, vamos a echar pegamento por las partes no impresas, para pegar las capas dobladas anteriormente.

De esta manera tendremos la pieza de papel que buscábamos, que forma un anillo de doce cuadrados y con impresión por ambas caras.

Antes de continuar, vamos a doblar en ambas direcciones por todas las separaciones de los doce cuadrados. Ten en cuenta que algunas líneas no se ven por tener relleno negro a ambos lados. Te aconsejamos que primero dobles el cuadrado completo por la mitad en horizontal y vertical, así puedes situar esos dobleces en su lugar, aunque no estén marcados en la impresión. Después puedes doblar los bordes del cuadrado hacia ese doblez central, y así todo queda en su lugar correcto. Es importante doblar hacia delante y hacia atrás, para facilitar el uso del flexágono.

Comenzamos ahora con el doblado que nos llevará al flexágono. Para empezar tenemos que colocar nuestra pieza de papel en su posición correcta. Para ello lo colocaremos de forma que en el cuadrado superior derecho aparezca la foto de Sophie Germain, como muestra la imagen.

Cuando tenemos nuestra pieza bien colocada vamos a realizar una serie de doblados. Comenzando por el lado de arriba, doblamos la fila superior hacia abajo. A continuación doblamos la columna de la derecha hacia dentro, y por último la fila inferior hacia arriba.

El último doblez, el de la izquierda, es el más complejo. Os dejamos como reto conseguir doblarlo de forma que el calendario quede bien montado. Esto es, que se vean los cuatro cuadrados naranjas por un lado y los rojos por otro. No te preocupes si no lo consigues. Al final te dejaremos un vídeo explicativo del montaje del flexágono.

¡Ya tienes tu calendario listo! Si todo ha salido correctamente tendremos por un lado del cuadrado los meses Enero y Febrero, y por el otro, Julio y Agosto.

¿Cómo funciona?

A continuación te enseñamos cómo mover el flexágono para hacer aparecer el resto de meses ocultos:


¡Divermates os desea unas felices fiestas y un feliz y muy matemático año 2019!

BIBLIOGRAFIA

Puedes aprender más sobre flexágonos, o construirte tus propios flexágonos visitando las siguientes páginas web:

Flexagon

Hexahexaflexagon y tetraflexagon

Entrada sobre flexágonos de la Wikipedia en inglés (hay enlaces al final a varias páginas con patrones)

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Navidad, 7 comentarios
El Astrolabio, el GPS más antiguo

El Astrolabio, el GPS más antiguo

¿Os habéis preguntado alguna vez cómo los antiguos marineros hacían para no perderse en alta mar sin contar con los GPS tan modernos que tenemos hoy en día? Queremos enseñaros hoy el uso del astrolabio, dejándoos además las herramientas necesarias para construiros vuestro propio astrolabio casero. Un astrolabio es un antiguo instrumento que permite determinar la posición y altura de un astro y deducir, según ésta, la hora y la latitud en la que te encuentras. Es importante saber que un astrolabio sirve sólo para una latitud en concreto. Así, el que vamos a construir hoy, concretamente nos sirve para una latitud 40° norte.

Construcción del astrolabio

Para construir tu propio astrolabio sólo necesitarás tijeras, pegamento, un punzón, hilo y las hojas con el recortable que puedes descargar aquí:

Astrolabio

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¡Aviso antes de imprimir!

  • La hoja con fondo de pergamino tendrá que ir impresa en cartulina.
  • La hoja con la red o araña deberá imprimirse en transparencia. De esta hoja sólo necesitaremos una Red o Araña, aunque en el documento vengan dos.

Lo primero que vamos a hacer va a ser recortar las distintas piezas. De la transparencia cortaremos sólo una Red o Araña, recortando el círculo más grande. En la cartulina recortaremos seis piezas distintas:

  • dos círculos con una solapa (partes trasera y frontal de la Madre).
  • las cuatro piezas similares restantes (Regla, Alidada y ambos refuerzos).

Para reforzar la cartulina hemos hecho todas las piezas dobles en vez de imprimir a doble cara, así como refuerzos para la Alidada y la Regla. Ya con las piezas recortadas vamos a pegar todos los refuerzos. Así, pegamos la pieza trasera de la Madre a la pieza delantera de la Madre dejando las impresiones hacia afuera, y las piezas de refuerzo por detrás de la Alidada y de la Regla.

Vamos a utilizar el punzón para hacer agujeros en el centro de la Madre, la Regla y la Alidada, así como en el centro de la Red o Araña.

 

En la Alidada doblamos por la línea de puntos de forma que las solapas formen 90º con el astrolabio.

Una vez hechos los agujeros, vamos a introducir las piezas en el encuadernador, respetando el siguiente orden:

  1. Regla.
  2. Red o Araña, con cuidado de que los textos queden legibles.
  3. La Madre, dejando hacia abajo la parte trasera, es decir, la que lleva el logo de Divermates hacia abajo.
  4. Alidada.

Una vez introducidas todas las piezas, antes de cerrar el encuadernador, conviene girar todas las piezas para que se fuercen los agujeros. Para mejorar el acabado se pueden recortar las patas del encuadernador y pegar encima un círculo pequeño de los que aparecen en la cartulina original.

Para terminar vamos a realizar un último agujero en la solapa que sobresale del círculo de la Madre. Tenemos que hacer el agujero en cualquier punto sobre la linea vertical que hay en la parte trasera. A través de este agujero dejamos pasar un hilo para sostener el astrolabio y que actúe a modo de plomada.

¡Ya tienes listo tu astrolabio!

¿Cómo funciona?

El mecanismo de estos aparatos aunque pueda parecer complejo es bastante sencillo. Consiste, digamos, en un sistema de tres ecuaciones: colocación de los astros, hora y fecha. Teniendo dos de estas incógnitas sabremos sin problema calcular la tercera.

Sin embargo, como tiene distintas utilidades y es bastante más lioso explicarlo por escrito queremos dejaros un video. ¡¡Dale al play y descubre los grandes secretos del astrolabio!!

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Curiosidades, 10 comentarios
Cuboctaedro mutante fosforescente

Cuboctaedro mutante fosforescente

Hoy queremos hablaros del cuboctaedro. Este poliedro arquimediano se obtiene al truncar cada vértice de un cubo, de forma que obtenemos un poliedro de seis caras cuadradas y ocho caras triangulares. Además, queremos dedicarle esta entrada a nuestro amigo Fernando Blasco, que admira este poliedro.

Hace tiempo, en la tienda Tiger podías encontrar un juguete como el que se ve en la imagen. En realidad, es un cuboctaedro que puede deformarse creando distintas figuras, cada cual más curiosa. Desde Divermates queremos enseñaros cómo podéis crearos un cuboctaedro casero, similar al de Tiger, pero con materiales más al alcance de todos. Además, ¡los vértices de nuestro cuboctaedro brillan en la oscuridad!

Este cuboctaedro lo hicimos el verano pasado en nuestro Campamento de Divermates y fue todo un éxito. ¡Es fácil, divertido y, desde luego, engancha!

Para construirlo necesitarás los siguientes materiales:

  • 24 palos redondos de madera. Pueden ser de pincho moruno cortando la punta, o comprados directamente con la punta ya cortada.
  • Aproximadamente 75 centímetros de tubo de silicona fosforescente. Estos tubos los usan los pescadores y los podrás encontrar en la sección de pesca de cualquier tienda. Necesitaremos 24 trocitos de unos 3 centímetros de longitud.
  • 12 bridas, a ser posible blancas.

Preparación de las uniones

Lo primero que vamos a hacer es construir nuestras uniones, es decir, los vértices del cuboctaedro. Para cada vértice necesitamos dos trozos de tubo, de unos 3 centímetros cada uno, y una brida. Comenzamos cerrando un poco la brida, dejando un espacio para luego introducir los tubos. Es más fácil cerrarla poniendo el dedo “como tope” para que no se nos cierre del todo.

A continuación vamos a meter los dos tubitos en el hueco que queda dentro de la brida. Una vez alineados, dejando la brida en el medio del tubo, apretamos la brida todo lo que podamos.

Para terminar la unión, cortamos la brida sobrante.

¡Recuerda, necesitaremos 12 uniones en total!

Veamos ahora cómo unimos las uniones a los palos de madera. Lógicamente, lo único que tendremos que hacer es introducir el palo dentro del tubo. Pero cuidado, algunos palos entran demasiado justos y no es conveniente hacerlos entrar girándolos pues, al girarlos, podemos rajar el tubo. Lo mejor es meterlos por presión, con cuidado y paciencia.

Ya tienes todo listo para formar el cuboctaedro. No obstante, te daremos unas indicaciones que te facilitarán la construcción.

Construimos nuestro cuboctaedro

Un detalle que tenemos que tener en cuenta para construir y entender un cuboctaedro es que los triángulos siempre colindan con cuadrados, y los cuadrados con triángulos. Es decir, nunca habrá dos cuadrados con una arista en común, y lo mismo con los triángulos.

Para empezar vamos a formar un cuadrado. Aunque es indiferente qué palitos meter por cada tubo, a nosotros nos gusta el orden y la simetría. Por ello los cuadrados los cerramos metiendo los palos en tubos distintos, y los triángulos cerrando con el mismo tubo. Como podéis observar en la imagen, las aristas del cuadrado entran, cada una, en un tubo distinto de cada vértice.

A continuacion vamos a meter un palo en cada tubo.

Como hemos dicho que en el cuboctaedro los cuadrados colindan con un triángulo en cada una de sus aristas, vamos a cerrar los palos que hemos metido, dos a dos, formando triángulos en cada lado del cuadrado. Para continuar con la pauta de los vértices, estas uniones se realizarán metiendo los dos palos en un mismo tubo de cada vértice, como se ve en la imagen.

Puedes ver en la siguiente imagen a qué nos referiamos con que cerramos los triángulos con un mismo tubo en cada vértice.

En el siguiente paso vamos a hacer otros cuatro cuadrados. Cada uno de estos cuadrados irá aprovechando las aristas de dos triángulos. Como ya empezamos a darle tridimensionalidad, los cuadrados quedarán deformados, pero no te preocupes, vamos a continuar hasta cerrar el poliedro completo.

Para terminar de cerrar el cuboctaedro tendrás que seguir las indicaciones que hemos venido dando hasta ahora, pues no es fácil de representar con fotos. Ya solo quedaría cerrar los triángulos colindantes a los últimos cuadrados.

Y con esto, ¡ya tenemos nuestro cuboctaedro!

Variaciones del cuboctaedro

Recuerda que si lo dejas absorviendo luz, los vértices brillarán en la oscuridad, dándole un aspecto muy chulo. Además, como ya dijimos, esta construcción permite moverlo al gusto, así que podrás formar muchas otras formas. ¿Eres capaz de formar un octaedro? Te dejamos dos de nuestras imágenes favoritas, pero seguro que encuentras muchas otras diferentes.

Además, como podrás observar, este mecanismo no sólo sirve para hacer cuboctaedros. Puedes dejar volar tu imaginación y crear un sinfín de poliedros y figuras diferentes.

GIF

 No dudes en enviarnos todas tus creaciones, estamos ansiosos por descubrir nuevas formas y figuras.

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, 1 comentario
Un triángulo de Sierpinski con papel

Un triángulo de Sierpinski con papel

Hoy queremos dedicar nuestra entrada a los fractales. Ya os hemos hablado en otros momentos de estas formas tan interesantes, cuya construcción se basa únicamente en repetir una y otra vez un mismo procedimiento. Esta idea la contamos con ejemplos muy visuales en nuestro taller de fractales, dedicado a alumnos de primero de primaria. Les mostramos algunos fractales que aparecen en la naturaleza y otros fractales descubiertos por distintos matemáticos, como el conjunto de Mandelbrot o el triángulo de Sierpinski. Al terminar el taller, construimos un triángulo de Sierpinski enorme con latas de refresco. Así que, para enteder qué es eso del triángulo de Sierpiski, vamos a enseñaros cómo construir uno muy sencillo con kirigami.


Un triángulo de Sierpinski es un fractal que puede construirse a partir de cualquier triángulo. Simplemente con cada iteración vamos a ir quitando a cada triángulo su triángulo central. Vamos a ver las primeras iteraciones:

Para construir nuestro triángulo de Sierpisnki de papel, sólo necesitarás dos folios, preferiblemente uno blanco y uno a color, tijeras y pegamento. Si quieres, para empezar, puedes seguir nuestro patrón, que te ayudará a seguir los pasos más fácilmente. Para un mejor resultado te animamos a imprimir a color el patrón que puedes descargar aquí:

Triángulo de Sierpinski – Divermates

Primera iteración

Lo primero que vamos a hacer es doblar el folio por la mitad, por la altura del triángulo, dejando las marcas hacia fuera.

Con el folio doblado y en horizontal, tenemos que ver las marcas como una escalera que sube de izquierda a derecha, es decir, a la izquierda la línea más corta y a la derecha las más largas. En esta posición, recortamos la línea central.

A continuación doblamos hacia arriba el rectángulo que queda a la derecha del corte, como muestra la imagen.

Este doblez es, en realidad, un doblez de referencia. Con esta marca, vamos a meter ese rectángulo hacia dentro.

Mirando desde el canto tiene que quedar como una W, un doblado en zig-zag.

Con esto, ¡ya tenemos la primera iteración!

Segunda iteración

Como estamos construyendo un fractal, con cada nueva iteración vamos a repetir lo que ya hemos hecho en la primera. Sin embargo, con cada iteración las repeticiones aumentan, es decir, vamos a tener que hacer los mismos pasos pero cada vez más veces. Sólo tenemos que ver que nuestro folio ahora ha quedado dividido en cuatro rectángulos (uno de ellos doblado hacia dentro). En la posición horizontal de partida, tenemos que fijarnos en los dos nuevos rectángulos, más pequeños que el inicial: el de arriba a la derecha y el de abajo a la izquierda. Repetimos todos los pasos en cada uno de estos dos rectángulos. Hay que tener en cuenta que cuanto más avanzamos, más capas tenemos. Así, habrá que cortar más capas y realizar más doblados.

Cortamos la línea central de cada uno de los dos rectángulos. Como hemos dicho, en el rectángulo de arriba esta vez cortaremos dos capas.

Hacemos los dobleces de referencia. Cuando tenemos doble capa, para un mejor acabado, es mejor doblar una hacia alante y otra hacia atrás.

Y doblamos hacia dentro, dejando la forma de zig zag. Como en el rectángulo de arriba tenemos las dos capas, tendremos que hacer más doblados.

Así queda tras la segunda iteración completa.

Siguientes iteraciones

Hemos visto que en la segunda iteración teníamos que repetir los pasos en dos nuevos rectángulos. Con cada iteración los rectángulos se duplican. ¿Cuántas veces tendremos que repetir entonces los pasos en esta tercera iteración? Efectivamente, ahora tenemos cuatro rectángulos más pequeños, donde tenemos que repetir todo el proceso.

Y así queda tras terminar la tercera iteración.

Con el patrón ya no quedan más marcas para seguir. No obstante, ahora que ya te hemos enseñado los pasos de cada iteración, desde Divermates te animamos a continuar, al menos, una más.

Para terminar y que quede más bonito todavía, vamos a pegar nuestro triángulo de Sierpinski en un folio en blanco. Dobla el folio en blanco por la mitad. A continuación echa pegamento sobre la parte trasera del triángulo de Sierpinski, esto es, donde aún pueden verse trozos de marcas, y pégalo sobre el folio doblado en blanco. Lo más sencillo es echar primero pegamento a una mitad, y cuando esté pegada, echárselo a la otra mitad.

También puedes hacerte un cuadernillo con las primeras iteraciones como el que te mostramos en el siguiente vídeo, realizado en el colegio Ruta de la Plata de Almendralejo:

¡Esperamos que lo disfrutéis!

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Domino Bead Game, otro juego de Sid Sackson

Domino Bead Game, otro juego de Sid Sackson

Recuperamos de nuevo otro juego del libro “A gamut of games” de Sid Sackson. Esta vez no se trata de un juego de cartas, como era el juego Patterns (puedes recordar el Patterns pinchando aquí). A este juego se puede jugar con dos conjuntos de piezas de dominó tradicional, quitando todas las que contengan el 6 o el blanco, quedándote con un total de 30 piezas. Sin embargo, para mayor facilidad de juego, en Divermates hemos maquetado estas piezas que harán al juego más atractivo. Este juego se llama Domino Bead Game.

Juego Domino Bead Game

Para utilizar nuestro juego maquetado, sólo tienes que imprimir y recortar las fichas que puedes descargar aquí:

Domino Bead – Divermates

Puedes descargarte el reglamento aquí:

Reglamento Domino Bead – Divermates

El juego

El Domino Bead Game es un juego que necesita bastante concentración. Se recomienda usar los entreturnos para buscar distintas jugadas. Aunque encuentres una ficha que puede colocarse correctamente, es recomendable seguir buscando más opciones. Seguramente en tu mano tengas distintas combinaciones de fichas que podrás evaluar para ver cuál te dará más puntos a corto y largo plazo.

A veces incluso puede ocurrir que un hueco libre pueda ser completado sólo con una ficha de tu mano. Puedes aprovechar esta ventaja para jugar por otro lado y aumentarte la puntuación al jugar dicha ficha más tarde.

Es importante no olvidar la regla que nos prohíbe colocar más de tres fichas unidas por su lado largo. Para ello en Divermates aconsejamos colocar alguna marca cuando ocurra esto. Por ejemplo, pueden usarse palillos que marquen la colocación obligada a partir de la cuarta ficha.

También puede facilitarse el juego colocando tokens en las zonas donde ya es imposible la colocación de una ficha, sea porque ya no está en juego la necesaria, o porque dos patrones dejen un hueco imposible.

Vamos a fijarnos en el ejemplo de la imagen:

  • Los palillos están colocados de forma que no pueda colocarse una ficha atravesándolos, por la regla de la cuarta ficha consecutiva. De esta manera sólo podrán colocarse fichas a uno u otro lado del bastoncillo.
  • La ficha amarilla muestra una zona imposible, ya que por el patrón que llega horizontal habría que colocar una estrella amarilla y por el vertical un círculo azul.
  • Las fichas rojas muestran dos zonas donde la ficha necesaria ya no está en juego. En la primera habría que poner círculo azul con cuadrado verde y las dos fichas de esta forma ya están en juego. En la segunda se necesita un aspa morada, en sentido horizontal con una espiral roja y en sentido vertical con un círculo azul, y, de nuevo, todas estas piezas están ya en juego.

Una vez más… ¡esperamos que disfrutes este  juego!

BIBLIOGRAFÍA

Como ya hemos dicho, puedes encontrar éste y muchos otros juegos en el siguiente libro:

Sackson, S, (1992), A gamut of games, New York, Dover Publications, Inc.

Este libro lo hemos descubierto a través de otro juego llamado “Patterns 2” al que Martin Gardner hace referencia en su libro:

Gardner, M, (1995), Circo matemático, Madrid, Alianza Editorial.

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Calendario Lunar

Calendario Lunar

Remontándonos al siglo V a.C. y con vistas a hablar de las fases de la luna, nos gustaría hablaros de Metón de Atenas. Este astrónomo griego descubrió que 19 años solares del calendario equivalían a 235 meses lunares. Esto quiere decir que, después de 19 años, la luna volvía a pasar por las mismas fases en las mismas fechas. No obstante Metón estimó un error de 5 minutos por año, por lo que en algunos casos la luna llena puede no coincidir exactamente en el mismo día. Aunque fue Metón quien puso nombre a estos ciclos, hay escritos que indican que eran ya utilizados en Mesopotamia desde el siglo VI a.C. para predecir eclipses.

Y hablando de eclipses, ¿recordáis el eclipse de sol que tuvo lugar el pasado mes de Agosto? Seguro que fue un efecto mágico para todos aquellos que pudieron verlo en vivo y en directo. Lástima que desde España tuviéramos que conformarnos con verlo a través de las redes. Aún así, nosotros no nos lo perdimos, ¿y vosotros?

Un eclipse solar se da cuando la luna se interpone exactamente entre el sol y la tierra. Obviamente, este fenómeno sólo puede darse durante la luna nueva. Como todos sabemos, según la posición de la luna y el sol, puede verse luna llena, menguante,  creciente o nueva. Es por ello que, desde Divermates, queremos enseñaros cómo construir un calendario lunar que nos dirá qué luna habrá cada noche desde hoy hasta el año 2037.

¿Cómo se construye el calendario?

Lo primero que tienes que hacer es conseguir un rotulador negro, tijeras y pegamento, e, importante, una bola de poliespán o corcho blanco de unos 3 cm de diámetro, además de la hoja con el calendario que puedes descargar aquí:

Calendario Lunar – Divermates

Para facilitar la construcción es recomendable tener también un cúter, cinta de doble cara y un palillo de pincho moruno.

El calendario se compone de dos piezas, un círculo y un sobre. Lo primero que tendremos que hacer es recortar ambas piezas. ¡Atención!, el círculo con una cruz en el centro de la parte negra del sobre también hay que recortarlo.

La pieza circular la dejamos como está. El sobre tendremos que montarlo doblando por la mitad y echando pegamento en las solapas. Una vez montado el sobre, meteremos el círculo dentro.

Dejamos nuestro sobre a un lado y comenzamos a preparar la luna. Lo que vamos a hacer es pintar la mitad de la bola de color negro. Para ello recomendamos pinchar la luna en un pincho moruno y, aprovechando la línea perimetral que puede percibirse en la bola, colorear media bola.

Una vez hemos coloreado la mitad de la bola, recomendamos hacer un corte en la base. De esta forma cuando la vayamos a pegar en el calendario, lo haremos sobre una superficie plana.

Para unir la luna al calendario lo mejor es usar cinta de doble cara. La luna tenemos que pegarla en el circulito central de la pieza circular. Hay que hacerlo con cuidado, peg, pero, importante, hay que pegarla teniendo la pieza circular metida en el sobre. De esta manera la pieza quedará encajada y no podrá separarse del sobre. Si nos fijamos en el circulito central tiene medio círculo blanco y medio círculo negro. Es importante que peguemos la luna haciendo coincidir la parte coloreada con el semicírculo negro y la parte blanca con el semicírculo blanco. Una vez pegada, es aconsejable que comprobemos si al girar el disco gira también la luna.

¡Ya tenemos nuestro calendario lunar!

¿Cómo funciona?

Ya en el propio calendario por la parte de abajo vienen las instrucciones de uso. Para comprobar que tengamos el calendario bien hecho y que se entienden las instrucciones vamos a ver un ejemplo.

Como hemos empezado hablando del eclipse solar que tuvo lugar el 21 de agosto y ya hemos dicho que para que haya eclipse solar la luna ha de ser nueva, vamos a comprobar que el calendario nos da esta información correctamente.

“Lo primero que tienes que hacer es girar el disco donde están situados los años, hasta que coincida el año con el mes que quieres observar”, es decir, vamos a girar hasta hacer coincidir agosto y 2017.

“Una vez colocado correctamente, has de buscar el día del mes que quieres mirar y situar la cartulina horizontal a la altura de los ojos con el día apuntando hacia ti. Guiñando un ojo podrás observar en qué fase estará la Luna el día seleccionado”. En nuestro caso buscamos el día 21, y miramos desde tal día hacia la luna. Podremos observar que, efectivamente, está complemente negra, es decir, la luna, el 21 de agosto de 2017 es luna nueva.

Veamos, para terminar, un ejemplo con un año bisiesto. La siguiente imagen mostraría la luna el 3 de febrero de 2020. Primero hemos hecho coincidir febrero y 2020. Como el 2020 esta recuadrado por ser bisiesto, hemos de hacerlo coincidir con el febrero recuadrado. Y por último, miramos hacia la luna desde el día 3.

Esperamos que os haya gustado este calendario, y, en caso de ser fanáticos de la astronomía, le deis uso, para, por ejemplo, planear vuestras salidas con el telescopio.

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Un rompecabezas topológico de Fibonacci

Un rompecabezas topológico de Fibonacci


Ya estamos de vuelta de las vacaciones, y en este mes de vuelta a clase nos gustaría retomar el curso con un rompecabezas topológico casero.

La topología puede parecer una parte algo compleja de las matemáticas cuando no has estudiado matemáticas a fondo. Nosotros en Divermates tenemos un taller dedicado exclusivamente a esta rama de las matemáticas, para niños de segundo de primaria. A priori puede parecer una locura tratar de hacer entender mínimamente a un alumno de 7 años lo que es  la topología, pero nosotros asumimos el reto, y, a día de hoy, podemos presumir de conseguirlo.

Formalmente la topología estudia las propiedades de las figuras que permanecen invariantes al ser sometidas a ciertas transformaciones, de forma que no aparezcan nuevos puntos o nuevos «agujeros». Es la geometría donde solo nos interesamos por la forma, sin atender a la medida.

En nuestro taller hablamos de la cinta de Möbius, cuya particularidad es tener un único un borde y una única cara. Al principio a los alumnos les parece una locura. Pero después de hacer distintos juegos y actividades entienden perfectamente este concepto.

Pero no es la banda de Möbius lo más interesante de la topología. Hay muchos problemas que han tratado grandes matemáticos a lo largo de la historia. Tenemos los puentes de Konigsberg, famosos problemas de nudos, el teorema de los cuatro colores, la botella de Klein, grafos… Os animamos a profundizar sobre estos juegos, modelos y problemas.

Sin embargo, la topología más al alcance de todos es quizá la que esconden los juegos topológicos de madera o metal. Seguramente alguna vez has visto alguno de estos juegos, donde aparecen elementos unidos por cuerdas que a simple vista parecen imposible de separar. Estos juegos topológicos ayudan a desarrollar la visión espacial, despertar la curiosidad y potenciar la paciencia y resolución de problemas con ingenio.

Os mostramos a continuación algunos de una colección muy especial:

¿Te gustaría construirte tu propio rompecabezas de papel?

Se cuenta que Chandlahuri, un sirviente indio de Fibonacci, regaló un rompecabezas como este al matemático pisano. Este rompecabezas fue llamado por Fibonacci como «lo joco enimmatico del brachiale torquato«, es decir, «el juego enigmático del brazalete retorcido».

¿Te has fijado en el diseño del rompecabezas? En honor al gran Fibonacci hemos querido dejar plasmada la sucesión que lleva su nombre en el brazalete: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55… Esta sucesión tiene muchas propiedades matemáticas, como, por ejemplo, la construcción de la espiral áurea que también podrás observar en el rectángulo.

Para construirtelo sólo necesitarás, tijeras, pegamento, un cordón de unos 25-30 cm. y el recortable que puedes descargar aquí:

Rompecabezas Topológico – Divermates

Como vamos a hacer un juego que vamos a manipular mucho con las manos te recomendamos construirlo con cartulina.

Lo primero que hay que hacer, como siempre, es recortar todas las piezas. Nuestro juego consta de un cuadrado, un rectángulo áureo y dos tiras onduladas. Observa que el cuadrado tiene un agujero en el centro, y que ambas piezas cuadriláteras tienen una cruz por donde deberá pasar la cuerda.

A continuación pegamos las dos tiras, poniendo pegamento solamente en las solapillas. Fijaos bien en dejar las tiras bien entrelazadas una con la otra, pero solo pegadas por los extremos.

Una vez tenemos nuestra pieza principal, la unimos a los cuadriláteros de la siguiente manera:

  • Primero anudamos la cuerda y la pasamos por la cruz del rectángulo.

  • A continuación hacemos pasar la cuerda por el agujero del centro del cuadrado.

  • Llevamos la cuerda por los dos huecos extremos de nuestro brazalete.

  • Y para terminar, la pasamos por la cruz del cuadrado para terminar haciendo un nudo.

¡Ya tienes tu rompecabezas topológico listo!

Ahora solo te queda aprender a deshacerlo, sin despegar las piezas, claro. ¿Eres capaz de separarlas estudiando únicamente los enredos de la cuerda y los agujeros de las piezas?

Pista:

los agujeros en este juego, como en casi todos los de este tipo, son clave.

¡Ánimo con ello! Tanto si lo consigues, como si tienes dudas, no dudes en dejarnos un comentario.

BIBLIOGRAFIA

Sarcone, G.A. (1997-2017). Torquato Puzzle: Archimedes Laboratory Project. Recuperado de aquí.

 

 

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Octaedro I Ching, un juego de matemagia

Octaedro I Ching, un juego de matemagia

El I Ching o Libro de los cambios es uno de los libros más viejos del mundo del que se desconocen los orígenes. Durante más de 2000 años se ha utilizado en el Oriente como libro de adivinación, y todavía hoy se estudia con gran respeto como fuente rica en sabiduría. Decenas de miles de jóvenes que secundan el renacimiento actual del ocultismo consultan el I Ching con la misma seriedad que consultan la tabla Oiuja o las cartas del tarot.

La base combinatoria del I Ching consta de 64 hexagramas que muestran todas las permutaciones posibles de dos tipos de líneas, al tomarlas de seis en seis. Estos dos tipos de línea revelan la dualidad básica de la metafísica china: la línea cortada corresponde al yin y la línea continua al yang.

  • Tomando las líneas de dos en dos, hay 4 formas distintas de combinarlas (digramas).
  • Tomando las líneas de tres en tres, tenemos 8 formas distintas (trigramas).

Combinando los ocho trigramas, obtenemos los 64 hexagramas. Sustituyendo por un 1 cada línea continua, y por un 0 cada línea cortada, y tomando los hexagramas por orden, leyéndolos de arriba a abajo en cada uno se obtiene la sucesión 000000, 000001, 000010, 000011,…, 111111; que no es otra cosa que la de los números del 0 al 63 expresados en notación binaria. Hasta los tiempos de Leibniz no se reconoció este isomorfismo entre los hexagramas y la notación binaria.

Utilizando estos datos, vamos a comenzar nuestro juego de magia usando los ocho trigramas distintos. Para construir este juego nos hemos basado en un juego de Bob Hummer.

Construcción del octaedro I Ching

En Divermates hemos construido un octaedro con los ocho hexagramas con el que podrás realizar un nuevo truco de matemagia.

Para construir el octaedro I Ching sólo necesitarás tijeras, pegamento y el recortable que puedes descargar aquí:

Octaedro I Ching – Divermates

En cada pdf aparece el juego por duplicado, así podrás regalarle un octaedro a algún amigo. Cada juego consta de un octaedro plegable y un sobrecito para guardarlo.

Primero tendrás que recortar ambas piezas.

Comenzando por el octaedro, dobla por todas las líneas.

A continuación, echa pegamento en todas las solapillas para pegarlas como muestran las siguientes imágenes.


La figura resultante será un octaedro que puede plegarse y meterse en un sobre.

Para formar el sobre, únicamente tendrás que echar pegamento en las dos solapas.

¡Ya tenemos listo nuestro juego!

Realización del juego de magia

Antes de empezar, daremos a elegir a nuestro espectador uno de los ocho trigramas. Luego iremos moviendo el octaedro para saber en qué posiciones puede ver el trigrama elegido. En cada uno de estas posiciones nuestro espectador sólo tendrá cuatro trigramas visibles. Al final, con tres preguntas podremos adivinarlo.

Para facilitar la explicación de este juego, aquí os dejamos un vídeo con el procedimiento completo.

Numeración binaria

Otra opción para adivinar el trigrama seleccionado por nuestro espectador es usar la numeración binaria.

Si sustituimos, como dijimos antes, cada línea continua por un 1, y cada línea cortada por un 0, los ocho trigramas corresponden a los números del 0 al 7 en notación binaria.

Sólo tenemos que tener en cuenta la siguiente información:

La primera respuesta vale 1, la segunda respuesta vale 2 y la tercera 4. Esto se debe a que al utilizar la numeración binaria debemos usar las potencias de dos. Sabiendo esto, sólo tendremos que sumar estos valores cuando nuestro espectador responde SI.

Por ejemplo, si las respuestas de nuestro espectador son, en orden, NO-SI-SI, tendremos que sumar 0+2+4=6, obteniendo el lago.

Observa que la respuesta coincide con el método del video: NO-SI-SI corresponde a línea cortada-continua-continua.

BIBLIOGRAFIA

Fulves, K, (1988), Bob Hummer’s Colllected Secrets

Gardner, M, (2010), Rosqullas anudadas, Barcelona, RBA Libros.

Pla i Carrera, J, (2009), Liu Hui: nueve capítulos de la matemática china, Madrid, S.L. Nivola Libros y Ediciones.

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«Patterns», un juego de cartas de Sid Sackson

«Patterns», un juego de cartas de Sid Sackson

Hay cientos de juegos para los que sólo necesitarás una baraja de cartas, un dominó o papel y lápiz. Sid Sackson nos cuenta en su libro «A gamut of games» un montón de juegos de este tipo, y desde Divermates hemos traducido y maquetado algunos de ellos. Hoy os dejamos uno llamado «Patterns».

En el juego original Sackson utiliza cartas de poker, pero a nuestro parecer es más sencillo de entender con unas cartas especiales. Para construirtelo sólo tendrás que imprimir dos copias de nuestra maquetación que puedes descargar aquí:

Patterns – Divermates

Si lo imprimes a dos caras, tendrás un bonito reverso de cartas con un teselado del mágnifico M.C. Escher. Una vez impreso, lo único que hay que hacer será recortar las cartas.

Recuerda, debes tener dos juegos de cartas, uno por cada jugador. De esta manera, una vez recortadas, deberás tener dos paquetitos con cartas del 1 al 12 en cada uno.

Además de las cartas necesitarás 12 fichas o tokens, para lo que puedes usar monedas, fichas de parchís, garbanzos, o cualquier cosa que se te ocurra. Nosotros utilizamos diamantes de juguete.

Puedes descargarte el reglamento aquí:

Reglamento Patterns – Divermates

El juego

El «Patterns» es un juego rápido, pues suele terminarse en, a lo sumo, 4 rondas. No obstante, en cada ronda, el jugador deberá estudiar con detenimiento sus posibles movimientos.

Es importante no olvidar que existen tres características distintas. Este juego requiere de gran capacidad de observación para distinguir a qué objetivo llegarás con menos movimientos. Además, al estar visibles las cartas de ambos jugadores es posible elaborar una estrategia para intentar perjudicar al rival. Si prestamos atención no sólo a nuestras cartas, sino también a las de nuestro rival, podremos deducir cuál será su objetivo y así tratar de ponerle algún impedimento.

¡Esperamos que disfrutes el  juego!

BIBLIOGRAFÍA

Como ya hemos dicho, puedes encontrar éste y muchos otros juegos en el siguiente libro:

Sackson, S, (1992), A gamut of games, New York, Dover Publications, Inc.

Este libro lo hemos descubierto a través de otro juego llamado «Patterns 2» al que Martin Gardner hace referencia en su libro:

Gardner, M, (1995), Circo matemático, Madrid, Alianza Editorial.

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