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Mates para construir, Matemáticas «Do It Yourself», objetos matemáticos que puedes construir tú mismo

Una tensegridad casera

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Una tensegridad es una estructura estable en la que actúan varias fuerzas que se equilibran. Matemáticamente son muy interesantes y además tienen aplicaciones en escultura, arquitectura y biología.

Miguel de Guzmán, una de las personas más influyentes en las nuevas formas de trabajar en matemáticas era un enamorado de las tensegridades. Seguro que le encantaría esta versión tan simple que nuestros alumnos del Aula de las Matemáticas van a construir sólo con materiales que se encuentran fácilmente por casa.

Cómo construir tu tensegridad casera (ver la galería de imágenes más abajo):

  • Necesitaremos «palos de polo», gomas elásticas pequeñas y gomas de tamaño medio.
  • Paso 1: Comienza uniendo los palos de polo de 2 en 2 con ayuda de las gomas pequeñas que colocaremos en los extremos.
  • Paso 2: Para que sea más divertido, vamos a usar colores y haremos el paso anterior para los 12 palos de polo, los uniremos de 2 en 2.
  • Paso 3: Introducimos la goma mediana entre los palos de polo unidos
  • Paso 4: hacemos esto mismo para todos los anteriores. Tendremos en total 6.
  • Paso 5: Aquí empieza el reto. Comienza la construcción de la tensegridad colocándolos perpendicularmente 2 a 2, usando únicamente 2 de los 3 colores de los que dispones.
  • Paso 6: Añade los del tercer color con ayuda de un amigo que te eche una mano.
  • Paso 7: tensa bien las cuerdas, asegúrate de que están perpendiculares dos a dos y ¡ya está!
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Felicitación Navideña / Calendario para 2015

Este año nuestra felicitación navideña es un pequeño rompecabezas con el que podréis construir un calendario para 2015, que además podrá ir variando a lo largo del año para mostraros los meses o algunas citas de grandes matemáticos de la historia. El calendario tiene forma de rombododecaedro, un poliedro con unas características muy interesantes y curiosas que os contaremos pronto en otra entrada.

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Para construir este calendario necesitamos pegamento, tijeras y la hoja que puedes descargar aquí: Calendario rombododecaedro 2015 – Divermates. Aunque parezca muy complicado no tardaremos más de 10 minutos en construirlo.

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Primero recortaremos el conjunto completo de la hoja. Los rombos blancos de la parte derecha deben quedar con el conjunto.

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Como hay que hacer varios dobleces, vamos a aprovechar para hacerlos antes de cortar y así ahorramos trabajo. Hay que doblar por todas las líneas rectas paralelas al borde derecho de la página, y todas en el mismo sentido, en «montaña» como se diría en origami. Es bastante sencillo hacerlo porque el corte en zig zag de los bordes nos sirve perfectamente como referencia.IMG_5048c

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Una vez doblado, tenemos que separar cada una de las cuatro piezas haciendo un corte en zig-zag siguiendo las líneas que cruzan la figura de izquierda a derecha.

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Aplicamos pegamento en los rombos blancos. Es importante que haya pegamento por toda la superficie de este rombo, si no nos quedarán puntas despegadas que nos dificultarán posteriormente el montaje.

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Cuando hayamos terminado tendremos cuatro «anillos» formados por seis rombos. Si los miramos justo desde arriba parecen hexágonos.

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Si quieres puedes intentar ahora montar el rombododecaedro por ti mismo, o puedes continuar leyendo y te explicamos cómo entrelazar estas cuatro piezas para conseguirlo.

INSTRUCCIONES PARA MONTAR EL ROMBODODECAEDRO

Lo primero será elegir cualquier par de piezas y colocarlas en la mesa de forma simétrica, como se muestra en la imagen.

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Introducimos una dentro de la otra, haciendo coincidir los rombos centrales

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Si presionamos en las partes de los anillos que quedan separadas, las que se ven en la parte inferior y superior de la foto anterior, podemos hacer que la figura se cierre un poco, y nos queden a la vista tres rombos que se tocan en sus ángulos obtusos y que vistos desde arriba forman un hexágono, alrededor del cuál se puede deslizar el tercer anillo, que introducimos hasta que coincida con los rombos de las piezas anteriores. En este momento ya nos quedará formado el poliedro.

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Sólo nos queda insertar el cuarto anillo. Éste sirve fundamentalmente para dar un poco más de solidez al conjunto. Si te fijas en la pieza que tienes ahora entre las manos verás que hay 6 caras que están formadas por una única capa de papel, mientras que hay otras 6 que son caras «dobles». Ahora debes buscar la orientación que hace que los seis rombos del cuarto anillo cubran las seis caras de una sola capa de papel que tenías en el conjunto.

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IMG_5068cY te queda el rombododecaedro terminado por completo

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IMG_5070cPero… ¿no se quedan todos los meses a la vista? Efectivamente ése es el desafío, construir el poliedro de forma que te queden los meses que quieras hacia el exterior. De hecho tienes muchas opciones: puedes poner los 12 meses fuera, o sólo las citas de matemáticos, o 2 meses consecutivos y 10 citas, o 6 y 6, o 4 y 8… Puedes configurar el calendario como quieras e ir variándolo a lo largo de todo el año 2015.

De esta forma queremos desearos que el 2015 esté lleno de nuevos retos que superar, nuevos proyectos con los que disfrutar aprendiendo.

¡Feliz año 2015!

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Icosaedro áureo

¿Sabías que en el interior del icosaedro se intersecan tres rectángulos iguales? ¿Y que esos tres rectángulos son áureos?

Nosotros hemos querido comprobarlo y hemos construido un icosaedro intersecando tres tarjetas de crédito, que como ya sabemos los DNIs, las tarjetas de crédito, la tarjeta de socio de la Fnac, la del gimnasio, etc., son rectángulos áureos. Y aquí tenéis el resultado.

 Icosaedro hecho con palillos de los oídos, hilo de pescar y tarjetas de crédito

Icosaedro áureo

¿Quieres hacerte uno? Así lo hicimos:

  • Consigue 3 tarjetas de crédito inservibles y recórtalas para intersecarlas como ves en la figura(*).
  • Recorta palillos de los oídos del ancho de la tarjeta (30 palillos de 5.4cm) para las aristas.
  • Pegamos con celo las aristas que van en el lado corto de la tarjeta.
  • Unimos el resto de los palillos con hilo de pescar por dentro (¿Podríamos pasar el hilo una única vez por cada arista?… Esto es un rompecabezas matemático)

(*) Para que encajen bien, no basta con hacer un corte en el lugar en el que irá la otra tarjeta, hay que hacer una ranura, es decir, quitar una parte de al menos el grueso de la tarjeta que vayas a insertar ahí. En dos de las tarjetas puedes no hacer corte desde el lado hasta la ranura, pero en una de ellas necesitarás hacer este corte para poder encajar las tres tarjetas.

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Anamorfosis navideña

¡Haz tu propia anamorfosis en forma de pino navideño! Este pino de navidad es un cono que esconde un mensaje. El mensaje sólo se puede leer bien mirando el cono desde arriba, desde el vértice.

¿Quieres hacerte uno?

  1. Imprime el pdf. Necesitarás pegamento y tijera
  2. Recorta. ¡Cuidado!, ¡no te dejes la lengüeta!
  3. Consejo: Enrosca un poco el cono para darle forma, pero no dobles la lengüeta
  4. Da pegamento en la lengüeta y pégalo.
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Cómo hacer una máquina de Galton (Quincunx)

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Ya que la sección «BricoMates»  está teniendo tanto éxito, aquí os dejamos una manera muy fácil de reciclar botellas de plástico para construir una máquina de Galton y poder experimentar por vosotros mismos y poder mostrar a vuestros estudiantes o a vuestros hijos lo sorprendentes que puede llegar a ser la probabilidad. (Encuentra más bricomates en la etiqueta «construcciones»)

g54-Si tiramos una bolita desde arriba, ¿en cuál de los huecos de abajo es más probable que caiga la bolita?– Casi siempre responden que cualquiera de los dos extremos.


Sin embargo, Galton ideó un aparato al que llamó Quincunx que consistía en dejar caer bolas que pasan a través de una zona de clavos colocados al tresbolillo (perpendicular a la pared) de forma que las bolas van chocando contra los clavos y, al azar, van hacia la izquierda o la derecha de cada clavo y van cayendo así hasta abajo, donde se recogen en unos recipientes con forma cilíndrica. Y Galton descubrió que al tirar muchas bolas, se ve que forman una campana de Gauss. A nosotros también nos quedan recogidas formando una campana de Gauss:

Galton-campana de Gauss

¿Sorprendido?

Seguro que ya estáis deseando construir una. Nosotros lo hicimos así:

  1. Consiguimos 45 botellas (¡Gracias Angelines!) pero se puede hacer con otra cantidad de botellas (No vale cualquier cantidad, ¿sabrías averiguar cuáles son esas cantidades adecuadas?)
  2. Quitamos el tapón y le hacemos una incisión en la boca
  3. Las cortamos para quedarnos sólo la parte que tiene la boca
  4. Pegamos con pegamento caliente en la unión (unimos de tal forma que en cada boca de la botella ponemos dos botellas por el otro extremo)

Fácil, ¿verdad? Si te animas a hacer la tuya, por favor, mándanos tus fotos.

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Cómo hacer una anamorfosis

HOLA Anamorfosis DivermatesSi entras en Divermates, verás un «HOLA» para darte la bienvenida a nuestra sede. Pero unos pasos más allá no verás escrito «HOLA», sino una maraña de líneas.

Es una anamorfosis que hemos hecho nosotros mismos, para darle a la oficina «el toque». Hicimos fotos del proceso porque queda tan sorprendente que sabíamos que algunos querríais haceros una.

Nosotros utilizamos el truco del proyector, que consiste en proyectar en la pared lo que quieres poner. Así lo hicimos:

  1. Pusimos un proyector a la altura de los ojos, en lo alto de una torre (mesas unas encima de otras) y conectado a un ordenador.
  2. Proyectamos en la pared, en diferentes lugares para ver dónde quedaba mejor (un lugar con muchos salientes queda más sorprendente)
  3. Pusimos cinta de carrocero alrededor de las letras para no salirnos de los bordes con la pintura
  4. Pintamos (varias capas, dejando secar entre una y otra)
  5. Quitamos la cinta de carrocero con sumo cuidado para que no se despegue la pintura.
Los Embajadores, de Hans Holbein

Los Embajadores, de Hans Holbein

Dentro del mundo de las anamorfosis, la más conocida es el cuadro «Los Embajadores» de Hans Holbein. En él se puede ver una calavera a los pies de los embajadores.

En la actualidad, artistas callejeros realizan anamorfosis en el suelo, como Julian Beever. En su página web puedes ver muchas de las anamorfosis por las que se ha hecho famoso.

Por último y para vuestro deleite, existe un programa que hace una anamorfosis con tu foto. Tiene manual y descarga gratuita. En esta misma página web podéis leer más sobre las anamorfosis.

Si os animáis a hacer la vuestra, ¡mandadnos vuestras fotos!

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Factorización en números primos con escurridores

Uso de la plantilla 20 = 2x2x5

Uso de la plantilla 20 = 2x2x5

¡Qué fácil es descomponer en producto de primos cuando tienes escurridores y pegatinas!

Hemos construido unas fichas hechas con escurridores que tienen números en amarillo. Al ponerlas sobre una plantilla nos deja descifrar la descomposición en factores primos de ese número.

Este fue uno de los juegos que más gustó a los profes que asistieron a nuestro taller con Fernando Blasco «¿Qué se te escurre?» de las JAEM 2013.

¿Cómo se usa?

Hay que poner la ficha del número que quieras descomponer (por ejemplo el 20, como en la imagen) en la casilla sombreada de la plantilla (la que pone «Número»). Sólo hay una posición correcta.

Sácale el jugo

Este juego se puede aprovechar como recurso para hacer pensar un poco a tus alumnos.cc4XHlMC86E_vInKkcqo1fqxUItjn6wHFSu0yqZ2_l0

  • En función de los números que quieras obtener descompuestos en factorización de primos, hay que pensar cómo distribuirlos en el escurridor para que sobre la mínima cantidad de anillas. ¡Nosotros conseguimos que no nos sobrase ninguna!
  • Se puede jugar al revés, quita las pegatinas amarillas y deja que operen para saber de qué número se trata.
  • Los números primos son de una determinada forma, y los cuadrados perfectos también la suya… ¿Cuáles son? ¿Hay alguna forma más que sea característica de algunos números?

    Los números primos y los números cuadrados tienen una forma determinada

    Los números primos y los números cuadrados tienen una forma determinada

¿Cómo lo construimos?

Lo que vas a gastar de escurridor dependerá de cuántos números quieras descomponer.

Foto 27-06-13 20 25 55

  1. Decide qué números quieres y piensa su descomposición.
  2. Escribe esos números en las pegatinas
  3. Pega la pegatina en un hueco del escurridor, piensa cómo quedará la descomposición, qué lugares tendrás que tapar con pegatinas azules y ponlas.
  4. Después recorta el escurridor.

Haz esto con todos los números que quieras y listo. 

Para verlo con más detalle, puedes ver la galería de fotos de la construcción. Y si te quedan dudas, escríbenos.

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