Curiosidades

La mágica fórmula de Euler

 

Vamos a hacer magia matemática:

  • Dibuja un garabato sin levantar el lápiz del papel, de forma que la línea que dibujes se corte consigo misma. Deja el principio y el final de la línea bien visibles.
  • Esta es la predicción que vamos a hacer: C+V=A+2
  • Cuenta los nodos, es decir, los puntos en los que la línea que has dibujado se corta consigo misma. Incluye también el comienzo y el final de la línea. A esta cantidad la llamaremos V.
  • Cuenta las zonas en las que ha quedado dividido el papel, incluyendo la zona exterior. No te dejes ni un hueco. A este número le vamos a llamar C.
  • Ahora cuenta los segmentos en los que ha quedado dividida la línea que has trazado. No olvides el principio y el final de la línea. A este número lo llamaremos A.
  • ¿Se ha cumplido la predicción? ¿Te da C+V=A+2?

garabato 2

Probablemente te suene el resultado si conocías ya la fórmula de Euler es (para cualquier poliedro convexo, es decir, uno que no tenga caras hundidas):

Caras + Vértices = Aristas +2

Lo único que estamos haciendo es aplicar esta fórmula a un garabato. ¡Y funciona!, ya que funciona también para grafos y los poliedros convexos pueden representarse como tal. Puedes ver la demostración matemática si te interesa.

Para hacerlo más divertido puedes hacerlo con una cuerda.

Si te gusta mucho y lo quieres contar para niños, aquí os dejamos el cuento infantil El Garabato de Euler, de los Cuentos Matemáticos de Alicia. Y nos depedimos con la moraleja del cuento:

Ni todos los niños son iguales, ni todos los garabatos son insignificantes

 

Publicado por Nelo Maestre en Curiosidades, 6 comentarios

Un juguete áureo

¿Sabías que en el interior del icosaedro se intersecan tres rectángulos iguales? ¿Y que esos tres rectángulos son áureos?

En Divemates hemos querido comprobarlo y hemos construido un icosaedro intersecando tres tarjetas de crédito, que como ya sabemos los DNIs, las tarjetas de crédito, la tarjeta de socio de la Fnac, la del gimnasio, etc., son rectángulos áureos. Y aquí tenéis el resultado.

 Icosaedro hecho con palillos de los oídos, hilo de pescar y tarjetas de crédito
Icosaedro áureo

¿Quieres hacerte uno? Así lo hicimos:

  • Consigue 3 tarjetas de crédito inservibles y recórtalas para intersecarlas como ves en la figura(*).
  • Recorta palillos de los oídos del ancho de la tarjeta (30 palillos de 5.4cm) para las aristas.
  • Pegamos con celo las aristas que van en el lado corto de la tarjeta.
  • Unimos el resto de los palillos con hilo de pescar por dentro (¿Podríamos pasar el hilo una única vez por cada arista?… Esto es un rompecabezas matemático)

(*) Para que encajen bien, no basta con hacer un corte en el lugar en el que irá la otra tarjeta, hay que hacer una ranura, es decir, quitar una parte de al menos el grueso de la tarjeta que vayas a insertar ahí. En dos de las tarjetas puedes no hacer corte desde el lado hasta la ranura, pero en una de ellas necesitarás hacer este corte para poder encajar las tres tarjetas.

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Curiosidades, 2 comentarios

Ábaco Neperiano

En el Museo Arqueológico Nacional, cada domingo del mes de Octubre (2014) explicamos el funcionamiento del Ábaco Neperiano. La entrada es gratuita, empezamos a las 11:30 y dura media hora.

abaco

Se trata de la herramienta de un calculista hecha obra de arte, única en el mundo, que se expone en el Museo Arqueológico Nacional.

El Ábaco Neperiano consta en realidad de dos ábacos que nada tienen que ver con el conocido ábaco de bolas o ábaco chino. Son «Los Huesos de Neper» y el «Ábaco Promptuario». A veces al segundo se le llama «Rabdológico», en referencia al libro en el que viene descrito, Rabdologiae, pero en realidad ambos vienen descritos en este libro escrito por Neper y publicado en 1617 al poco tiempo de su muerte.

Descripción

El armario que los contiene es una obra artesanal en oscura madera de palosanto reforzado con bordes de latón, con incrustaciones de marfil con finos detalles ornamentales.

puerta-izq

Consta de tres partes fundamentales. En la parte superior, una tapa deslizante da acceso al hueco donde están las piezas del ábaco llamado Huesos de Neper, que son unos prismas de base cuadrangular que explicaremos después. La parte central es un armario con dos puertas que se cierran con llave, tras las cuales se abren tres columnas de diez cajones cada una bellamente decorados con frontales de marfil. En una de las puertas se puede apreciar el escudo de la orden de los Jerónimos, que en época de Felipe II estaban en el Monasterio de El Escorial. En estos cajones están las piezas del ábaco llamado Promptuario. Por último, de la base se extrae un cajón que se cree que sirve a modo de mesa, para realizar las operaciones.

Todo el conjunto hace pensar que fue la obra de un artesano que siguió fielmente las instrucciones del libro Rabdologiae y que era un regalo para alguien que no era un simple calculista, sino que sabía apreciar la belleza de la obra.

Método para calcular

En la época no era habitual saber sumar o multiplicar. Sólo unos pocos tenían ese privilegio y John Neper era uno de ellos.

Los Huesos de Neper fueron diseñados como herramienta para multiplicar por el “método de celosías”, que es el sistema de multiplicación que se hizo popular en la época. De este método procede el algoritmo de multiplicación que aprendemos actualmente en el colegio.

Figura 1 - Ejemplo multiplicacion celosia

Pongamos un ejemplo para ilustrar el método de las celosías. Para multiplicar 325×47, construimos una tabla en la que colocamos 325 en la primera fila y 47 en la última columna, como se muestra en la Figura 1. Añadimos el resultado del multiplicar 3×4 en la celda correspondiente a la columna del 3 y la fila del 4; el resultado de multiplicar 2×4 en la celda correspondiente a la columna del 2 y la fila del 4, teniendo cuidado de poner las decenas en la parte superior de la celda y las unidades en la inferior; y así sucesivamente. Sumamos en diagonal, empezando como se hace hoy día, por la derecha, esto es, la primera cantidad es 5, la segunda es 0+3+4, la siguiente es 2+8+1+1 (nos quedaríamos con la cantidad de unidades y nos “llevamos” el 1, correspondiente a las decenas, para añadirlo a la suma siguiente) y por último quedarían 0+2+2+1 y el 1 final. Así el resultado es 15275.

Los Huesos de Neper

Se llaman así no porque sean los huesos del difunto Neper, sino porque los inventó él y porque están realizados en hueso de marfil.

Figura 2 - Huesos de napier ejemplo de uso-CORREGIDO

Los Huesos de Neper sirven para multiplicar por el método de las celosías. En cada cara se encuentra el resultado de multiplicar el número que aparece en el extremo por los números ordenados del 1 al 9, esto es, la tabla de multiplicar del número que aparece en el extremo. En la figura 2 podemos ver cómo sería multiplicar 57586 por 4 con los Huesos de Neper.

Además, ingeniosa e inteligentemente, los números que aparecen en las caras opuestas de un mismo prisma están elegidos de forma que suman 9, están colocados de manera que hay dos caras en posición inversa a las otras, para encontrar el que se necesita con mayor rapidez, puesto que esos números están indicados en los bordes de las varillas o prismas. Por tanto, los Huesos de Neper demuestran ser una herramienta muy útil y efectiva para la multiplicación de cualquier número por una cifra.

El ábaco Promptuario

Por si lo anterior no fuese suficiente contribución, tenemos el Ábaco Promptuario, formado por regletas de dos tipos, unas con números y otras con perforaciones triangulares (ver figura 3). Este ábaco mejora al anterior, ya que permite multiplicar por más de una cifra, aunque este utensilio no se hizo tan popular.

Figura 3 - Abaco promptuario

La regleta de números (izquierda en la Figura 3) tiene casillas similares a las de los Huesos de Neper, con los números de las casillas triangulares correspondientes a la tabla de multiplicar del número superior, pero colocados de una manera no tan obvia. En esta colocación, al superponerle una de las regletas perforadas (derecha en la Figura 3) perpendicularmente, veríamos estos productos en los huecos (sombreado en la Figura 3).

Figura 4 - Ejemplo uso promptuarioEn la Figura 4 vemos cómo se colocar estas regletas para realizar la multiplicación que proponíamos al principio como ejemplo para comprender la multiplicación por celosías. De este modo, el Ábaco Promptuario creado por Neper resuelve la multiplicación por varias cifras de cualquier número con sólo estas regletas, sin necesitar nada más.

Haz tu propio ábaco

Aquí podéis descargar un Ábaco Promptuario para poder hacer multiplicaciones muy largas sin necesidad de saber multiplicar.

Fotos del ábaco y de las exposiciones hechas en el Museo Arqueológico Nacional

Aquí podéis encontrar algunas fotos del ábaco, detalles que si no habéis ido a verlo harán que quieras ir. Y también de momentos de la exposición, en los que podéis ver el alto interés que muestran tanto grandes como pequeños y la expectación que crea esta pieza única en el mundo.

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La vitrina de Divermates

Vitrina de Divermates

Vitrina de Divermates

Cuando la gente entra en Divermates suele quedarse un rato mirando la vitrina. Da igual si viene la cartera, un profesor o un niño. Nuestra vitrina sorprende porque está llena de objetos variados que uno supone que están relacionados con las matemáticas (y así es), pero a veces no es fácil ver de inmediato lo que les une.

En la vitrina de Divermates hay matemáticas divertidas y curiosas. Están varias de las construcciones que hemos hecho con pajitas (como una cúpula geodésica, poliedros, etc.), hay origami, rompecabezas hechos con diversos materiales (algunos comprados, otros hechos por nosotros mismos), instrumentos de astronomía, cajas de música, un libro de logaritmos (con el que se comprueba la Ley de Benford), una regla de plástico que suena, libros de Escher, un cono que indica la mitad de su volumen, un mono que multiplica, varios fósiles y minerales…

La vitrina de Divermates es nuestro gabinete de curiosidades. Los gabinetes de curiosidades (también llamados cuarto de maravillas, o Wunderkammern en alemán o Wonder Chambers en inglés) son los antecesores de los museos. Nacieron en los siglos XVI y XVII, en la época de las grandes exploraciones y descubrimientos. Hoy día hay mucha gente que lo sigue haciendo, al ser humano le gusta coleccionar.

Algunos museos de Matemáticas:

  • Museo de Matemáticas de Cataluña: MMACA
  • Museo de Matemáticas de Nueva York: MOMATH
  • Museo de Matemáticas en Oporto (Portugal): Atractor
  • Museo de Matemáticas en Giessen (Alemania): Mathematikum
  • Museo de Matemáticas en Florencia (Italia): Giardino di Archimede
Musei_Wormiani_Historia

Musei_Wormiani_Historia

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3.14: Día de Pi y de Sierpinski

Hoy es el día de π (Pi), pero también Wacław Franciszek Sierpiński nació un 14 de Marzo. Doble motivo para los amantes de las matemáticas. Y para celebrarlo, aquí os dejamos un problema para que lo penséis:

En un bote hay tres pelotas de tenis. ¿Se puede averiguar sin medir si la longitud de la tapa de la circunferencia del cilindro es mayor o menor que el alto del bote?

¿Se puede averiguar sin medir si la longitud de la circunferencia de la tapa del cilindro es mayor o menor que el alto del bote?

¿Se puede averiguar sin medir si la longitud de la circunferencia de la tapa del cilindro es mayor o menor que el alto del bote?

 

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Icosaedro áureo

¿Sabías que en el interior del icosaedro se intersecan tres rectángulos iguales? ¿Y que esos tres rectángulos son áureos?

Nosotros hemos querido comprobarlo y hemos construido un icosaedro intersecando tres tarjetas de crédito, que como ya sabemos los DNIs, las tarjetas de crédito, la tarjeta de socio de la Fnac, la del gimnasio, etc., son rectángulos áureos. Y aquí tenéis el resultado.

 Icosaedro hecho con palillos de los oídos, hilo de pescar y tarjetas de crédito

Icosaedro áureo

¿Quieres hacerte uno? Así lo hicimos:

  • Consigue 3 tarjetas de crédito inservibles y recórtalas para intersecarlas como ves en la figura(*).
  • Recorta palillos de los oídos del ancho de la tarjeta (30 palillos de 5.4cm) para las aristas.
  • Pegamos con celo las aristas que van en el lado corto de la tarjeta.
  • Unimos el resto de los palillos con hilo de pescar por dentro (¿Podríamos pasar el hilo una única vez por cada arista?… Esto es un rompecabezas matemático)

(*) Para que encajen bien, no basta con hacer un corte en el lugar en el que irá la otra tarjeta, hay que hacer una ranura, es decir, quitar una parte de al menos el grueso de la tarjeta que vayas a insertar ahí. En dos de las tarjetas puedes no hacer corte desde el lado hasta la ranura, pero en una de ellas necesitarás hacer este corte para poder encajar las tres tarjetas.

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Trágico fin de algunos matemáticos

Aprovechando que estamos en Halloween, hemos decidido para la entrada de hoy algunos finales trágicos de personajes matemáticos.

Un final que seguro conoces es el de Arquímedes, que murió a manos de un soldado romano a pesar de que el general romano Marcelo ordenó mantenerle con vida.

También son conocidas y discutidas las muertes de Thales de Mileto (que probablemente fue asfixiado por una multitud al salir de un espectáculo), de Hipatia (que murió lapidada o linchada a manos de una muchedumbre) y de Eratóstenes (que se dice que se suicidó dejándose morir de hambre porque no podía seguir leyendo y aprendiendo ya que se quedó ciego).

Hay matemáticos que bien merecen que se haga una película sobre su vida. Nuestro favorito es Galois, que además de tener una fructífera vida matemática, en su historia se mezcla el amor, el honor, la muerte y la guerra. Aquí os dejamos un vídeo sobre la vida de Galois:

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¡Qué lío con los símbolos de multiplicar y dividir!

Todos conocemos dos signos de multiplicar, «·» y «x». Y todos conocemos varias formas de expresar algebraicamente la división, «—», «/» y «÷», pero ¿de dónde viene cada signo y cuándo se usaron por primera vez?

Hubo una época en que algunos usaban el signo «·» para multiplicar y otros para dividir.
William Oughtred

William Oughtred

La mayoría de la gente cree que el signo «·» es posterior al signo «x», pero es anterior.

Si te suena el nombre de Thomas Harriot (1560 – 1621) es por su Teoría de Empaque de Esferas (le pidieron averiguar la mejor forma de apilar balas de cañón). En ese escrito Harriot usaba «·» para indicar la multiplicación.

El ministro William Oughtred es famoso por haber inventado la regla de cálculo, pero también se le atribuye la letra griega π para  el número «pi» y el sino «x» para la multiplicación.

Oughtred lo usó por primera vez en su libro «Clavis Matematicae» en 1631, así que el signo «x» es posterior al signo «·».

-Pero entonces, ¿qué usaba Oughtred para indicar la división?

-Usaba «·»

-¡¡Claro!!, ¡de ahí el lío!

Así que Oughtred inventó otro signo para indicar la división, los dos puntos «:»

¿Quieres saber más sobre signos de multiplicar y la dividir?

En 1637 Descartes sencillamente no podía nada entre los factores de un producto (como nosotros cuando escribimos 3z+2, que indicamos que 3 y z están multiplicando).

Y Leibniz (1646 – 1716) no usaba ninguno de los anteriores, sino que escribía «Ç» para indicar la multiplicación y cuando lo escribía del revés indicaba la división, pero su idea no fue muy aceptada.

El uso del signo «/» para indicar la división se atribuye a los árabes y se cree que el signo «÷» es la mezcla del que usaba Oughtred y el de los árabes.

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