Quédate en casa jugando al Can’t stop!

Quédate en casa jugando al Can’t stop!

En plena crisis del Coronavirus lo mejor que podemos hacer es quedarnos en casa. Pero puede resultar agotador estar tantos días sin salir. Por ello queremos enseñaros otro sencillo juego de Sid Sackson que acabará con esas largas horas de aburrimiento. ¡Con el can’t stop veremos hasta dónde puedes forzar tu suerte!

Para aprender a jugar sólo necesitarás descargarte nuestra versión del tablero aquí:

Tablero Can´t Stop

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Además necesitarás cuatro dados, un puñado de fichas para cada jugador y tres marcadores.

Os dejamos un video explicando cómo se juega, y un enlace a las reglas del juego:

Reglas – Can’t stop

Reglas del Can’t stop

En cada turno el jugador lanzará los cuatro dados para subir a sus escaladores por las distintas cuerdas. El objetivo final es ser el primer jugador en alcanzar la cima en tres columnas. Si nos fijamos en la parte inferior del tablero, veremos que hay cuerdas para todas las combinaciones que pueden obtenerse al lanzar dos dados (del 2 al 12). Una vez lanzados los cuatro dados tendré que combinarlos de dos en dos como yo quiera. Estos pasos tendré que hacerlos con las fichas marcadores, pues aún no ha terminado la jugada. Además pondremos estos marcadores en el espacio libre más abajo de la columna elegida.

Por ejemplo, si saco 5-5-5-2 los puedo combinar haciendo 5+5 y 5+2. De esta forma podré subir a mi escalador un paso en la cuerda del 7 y otro paso en la cuerda del 10.

Lo divertido de este juego es que puedes tirar los dados cuantas veces quieras. En cada tirada, tras lanzar los cuatro dados, debes crear dos combinaciones de dos dado.

  • Si al tirar los dados de nuevo creas una combinación con un número elegido anteriormente (en nuestro ejemplo 7 o 10) deberás mover el marcador una posición más arriba.
  • Si al tirar los dados de nuevo creas un nuevo número y aún tienes un marcador libre deberás comenzar a escalar en la columna de este número.

Imaginemos que en nuestra segunda tirada sacamos 2-2-3-5. Si combinamos estos dados haciendo 2+5 y 2+3, subiremos una posición más nuestro marcador de la columna del 7 que empezamos en la tirada anterior, y pondremos el tercer marcador en la columna del 5.

De esta forma podrás hacer todas las tiradas que quieras. Pero cuidado, ¡a veces te convendrá plantarte! Si decides plantarte reemplaza cada marcador por una de las fichas de tu color y pasa el turno al siguiente jugador. Por otro lado, si continuas tirando y un lanzamiento no te permite poner un marcador nuevo o mover uno de los ya puestos hacia arriba, quedas eliminado y pasas el turno al siguiente jugador. En este caso, quita los marcadores que hayas puesto en el tablero sin reemplazarlos por fichas de tu color. En este turno no avanzas nada.

Siguiendo con el ejemplo anterior. Si decido arriesgarme y realizar una tirada más estoy obligado a sacar un 5, un 7 o un 10. Si saco en este caso 3-3-4-5. Los combino haciendo 3+4 y 3+5, de forma que subo una casilla en la columna del 7. Llegados a este punto podría plantarme o seguir arriesgando.

Si me planto reemplazo los marcadores de las filas 5,7 y 10 por piezas de mi color y paso turno al siguiente jugador.

Si por el contrario decido seguir tirando, y saco 5-6-6-6 no puedo con esa tirada sumar 5, 7 o 10. En este caso perdería el turno sin hacer ningún movimiento.

Si en algún momento voy escalando una columna y me encuentro una casilla con una pieza de otro jugador automáticamente la saltaré. De esta forma vamos realizando nuestras jugadas hasta que algún jugador culmine tres columnas. Una vez que un jugador ha culpinado una columna sobrepasándola con una ficha esta columna ya no puede utilizarse más, ni para dar pasos ni para hacer sumas con los dados.

Esperemos que disfruteis mucho de este juego mientras repasais las sumas con los más pequeños de la casa.

¿Por qué las columnas más bajas y más altas son más cortas que las centrales?

Si te has fijado las columnas del 2 y del 12 son muy cortitas. ¿Has pensado por qué el juego está así diseñado? Efectivamente, al lanzar dos dados es mucho más dificil que sumemos estos números. Los números centrales, el seis, el siete o el ocho tienen mucha más probabidad de obtenerse. Puedes comprobarlo tu mismo observando las distintas combinaciones con las que obtienes esos números.

 

 

Publicado por Nelo Maestre en Ludoteca, 1 comentario
Gatitos matemágicos

Gatitos matemágicos

¡Si te gustan los gatos, este juego te encantará! Si recuerdas la entrada de la última navidad comentamos que el principio lo teníamos aplicado también a cartas, unas muy especiales con gatos. Hemos diseñado unas tarjetas con ocho gatitos, a los que hemos puesto nombres de matemáticos. Como en el caso de los árboles, en este juego, el espectador elegirá un gatito entre los ocho que hay, y el mago adivinará el gato en cuestión y sus características especiales.

Para sorprender a todos tus amigos con este juego sólo tienes que recortar las ocho tarjetas de gatitos que puedes descargarte aquí:

Gatitos Matemágicos

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Cuando tengas los ocho gatitos ya puedes empezar con la magia. Pídele a un amigo que piense en uno de los ocho gatitos, pero que recuerde todas sus características (los colores del pelaje del gato y de que color tiene el collar). Iremos haciendo distintas preguntas y las propias tarjetas irán ellas mismas contestando una a una.

El juego

Aunque os dejamos un vídeo donde explicamos el juego, de nuevo vamos a incluir el esquema a seguir para realizar el juego:

  • Para empezar, una vez que el espectador ha elegido un gatito, deberás recoger las tarjetas por orden alfabético. Si nos fijamos bien, los nombres elegidos para nuestros gatitos van desde la A, hasta la H: Agnesi, Bernoulli, Cardano, Diofanto, Euclides, Fibonacci, Galileo e Hipatia. Así, colocaremos en orden las tarjetas, dejando Hipatia en la cara vista.
  • Sin mezclar ni cortar, y cogiendo el mazo cara abajo (es decir, la tarjeta de arriba será Agnesi), realiza un reparto de las tarjetas en dos montones uno a uno. Al ir repartiendo tomas cartas de tu mano que están cara abajo y las vuelves antes de dejarlas en la mesa. Si has hecho el proceso correctamente quedarán dos montones en la mesa, con los gatitos Galileo e Hipatía a la vista. Recuerda pedirle al espectador que se fije en qué montón está el gatito elegido.
  • Recoge los dos montones colocando el que NO contiene el gatito elegido por el espectador sobre el que SI lo contiene.
  • Repite el reparto, vuelve a pedirle al espectador que te diga dónde está su gatito y recoge de igual manera (NO sobre SI).
  • Repite una tercera vez este mismo paso.

En este momento el gatito elegido por el espectador estará el primero del montón. Podríamos acabar el juego en este punto enseñándolo directamente, pero hemos añadido una parte que hará el descubrimiento del gatito elegido mucho más emocionante. Con esta ordenación del montón de tarjetas, todos los gatitos se han recolocado cumpliendo una serie de propiedades. Vamos a realizar tres preguntas al montón de tarjetas para descubrir el gatito elegido:

1. ¿El gatito elegido tiene color NEGRO? En este momento pasamos una tarjeta por cada letra de la palabra N-E-G-R-O de arriba a abajo del montón. Primero pasamos una por la N, luego otra por la E,… y así hasta completar la palabra NEGRO. Después de pasar de arriba a abajo la quinta carta por la letra O, mostramos (y retiramos del montón) la siguiente carta:

  • Si ese gatito tiene color negro, significa que el elegido por el espectador también tendrá color negro.
  • Si ese gatito no tiene color negro, entonces el elegido por el espectador no tendrá color negro.

2. ¿El gatito elegido tiene color BLANCO? Repetimos el procedimiento anterior con la palabra B-L-A-N-C-O. Después de pasar de arriba a abajo la sexta carta por la letra O, mostramos (y retiramos del montón) la siguiente carta:

  • Si ese gatito tiene color blanco, significa que el elegido por el espectador también tendrá color blanco.
  • Si ese gatito no tiene color blanco, entonces el elegido por el espectador no tendrá color blanco.

3. ¿El gatito elegido tiene color NARANJA? Hacemos de nuevo el procedimiento anterior con la palabra N-A-R-A-N-J-A. Después de pasar de arriba a abajo la séptima carta por la letra A, mostramos (y retiramos del montón) la siguiente carta:

  • Si ese gatito tiene color naranja, significa que el elegido por el espectador también tendrá color naranja.
  • Si ese gatito no tiene color naranja, entonces el elegido por el espectador no tendrá color naranja.

4. ¿De qué color tiene el COLLAR del gatito elegido? En este último paso tendremos que pasar, de arriba a abajo, una tarjeta por cada letra de la palabra C-O-L-L-A-R. Después de pasar de arriba a abajo la sexta carta por la letra R, mostramos (y retiramos del montón) la siguiente carta:

  • El collar de ese gatito será del mismo color que el collar del gatito elegido por el espectador.

Finalmente realizamos un último paso, denominado el efecto de la margarita: vamos a ir diciendo no me quiere – me quiere – no me quiere – me quiere… Empezando por NO ME QUIERE, vamos a ir retirando las tarjetas de «no me quiere» y pasando de arriba a abajo las que si «me quiere». Cuando ya me queda sólo una tarjeta en la mano, recordamos las características que nos ha ido respondiendo todo el proceso, para luego mostrarla y descubrir que es el gatito elegido.

Algunos comentarios matemáticos sobre este principio

En los libros de Alex Elmsley se plantean algunos efectos hablando de esta propiedad de los montones de 8 cartas y los repartos en dos montones, lo que en el ámbito mágico diríamos que es una «mezcla antifaro». Por ejemplo, si en vez de colocar en las tres ocasiones el montón en el que NO está el gato elegido sobre el montón en el que SI está lo hubiésemos hecho al revés (el montón en el que SI está sobre el montón en el que NO está) al final el gatito elegido habría quedado justo en el fondo del mazo (recuerda que siempre repartimos con el montón caras abajo en la mano y vamos volteando las cartas al dejarlas en la mesa, formando dos montones de cartas cara arriba).

En realidad, combinando los dos montones -el SI y el NO- en cada una de las tres fases de reparto, podríamos hacer que el gatito elegido llegase a cualquier posición. Una vez hecho este proceso siempre llegamos a permutaciones distintas de los gatitos, en los que podríamos establecer distintas características. En esta versión hemos elegido 4 características (si tiene parte de pelaje negro, blanco, naranja y el color del collar) pero podríamos haber llegado a establecer hasta 7 características que coincidirían con la colocación final de los gatitos.

¿Te atreves a diseñar tu propia versión?

 

BIBLIOGRAFIA

Micnch, S. (2012). Obras completas de Alex Elmsley, Libros de Magia.

 

Publicado por Nelo Maestre en Matemagia, 0 comentarios
Planetas binarios, dos matemagias para los más pequeños

Planetas binarios, dos matemagias para los más pequeños

Desde Divermates aconsejamos seguir las recomendaciones de no salir a la calle estos días tan críticos, y por ello queremos recordaros que podéis recurrir a un montón de juegos de nuestro blog para tener a los pequeños de casa entretenidos. Además, aprovechando el día de Pi queremos enseñaros unos juegos de magia con los planetas. Aunque tengas a los niños en casa puedes aprovechar para hacer este juego y que aprendan mientras se divierten. Como muchos sabréis, este día se celebra mundialmente y la NASA no se queda atrás, ya que el número Pi va de la mano del trabajo de estos científicos y astrónomos. Y es que no sólo usan este número para determinal el volumen de los planetas o los asteroides. También es necesario para realizar diferentes cálculos, para mantener la nave a flote, para medir la composición de los planetas o para investigar el origen de los cráteres. Por ello hemos elegido esta temática para mostraros dos juegos de magias aptos para los más pequeños. Con sólo 4-5 años ya podréis convertir a vuestros hijos en pequeños aprendices de mago.

Planetas binarios

Para el primer juego que os vamos a enseñar nuestro aprendiz de mago sólo tendrá que saber sumar números muy pequeños. Si quieres hacerlo sólo tendrás que recortar las cuatro tarjetas que puedes descargarte aquí:

Planetas binarios

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Como en casi todos los juegos con tarjetas, una de las tarjetas será la tarjeta-chuleta en la que aparecen todos los planetas. Nuestro mago tendrá que mostrar esa tarjeta al espectador para que éste elija uno de los ocho planetas. A continuación el mago mostrará las tres tarjetas restantes, pidiéndole al espectador que le diga en cuál o cuáles de las tarjetas se encuentra el planeta elegido. En un abrir y cerrar de ojos el mago ya sabrá de qué planeta se trata.

Para descubrirlo sólo tendrá que sumar los números de las tarjetas donde se encuentre el planeta elegido. Por ejemplo, si el espectador nos dice que el planeta se encuentra en las tarjetas 1 y 4, sabremos que se tratará de Júpiter (4+1=5).

O si nuestro espectador nos dice que el planeta se encuentra en las tarjetas 2 y 4, sabremos que se tratará de Saturno (4+2=6).

Como muchos de nuestros juegos, este truco funciona gracias a la numeración binaria. Para hacer el juego más divertido para los más pequeños podemos simular que hemos perdido una tarjeta, la número 3, pero decir que vamos a usar nuestros poderes mentales para conseguir que el juego funcione a pesar de no tener todas las tarjetas. De esta manera justificamos el por qué falta una tarjeta.

Otro detalle a tener en cuenta es que Neptuno, no está en ninguna tarjeta. Cuando el espectador elija este planeta nos dirá que no aparece en ninguna tarjeta, por lo que nuestra suma de cohetes será igual a cero. Deberemos recordar que este cero corresponde al 8 y, para ello, podemos hacer que nuestro aprendiz de mago recuerde al ocho como un cero con cinturón.

Versión sin sumas

En este segundo juego no será necesario sumar. Como en el caso anterior, para aprenderlo, sólo tendrás que recortar las cinco tarjetas que puedes descargarte aquí:

Planetas binarios, versión sin sumas

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Ten cuidado de imprimirlo por las dos caras, girando el papel por el lado corto y, a ser posible, en cartulina.

Para esta opción hemos versionado el juego escondiendo el truco en las estrellas decorativas del fondo. Empezamos como en el primer juego, haciendo que nuestro mago enseñe al espectador la tarjeta donde aparecen los planetas, el Sol y la Luna. Una vez que el espectador ha elegido uno entre todos ellos, el mago irá mostrando el resto de tarjetas. En este caso es importante enseñarlas de forma ordenada, de menor a mayor, empezando por el cohete número 1 y terminando por el número 4. Si nos fijamos bien en las tarjetas, cada una es de un tamaño diferente.

Primero enseñaremos la tarjeta del cohete 1, la más grande, y preguntaremos al espectador si su planeta está en esa tarjeta.

  • Si nos dice que , colocaremos la tarjeta sobre la mesa con el cohete apuntando hacia arriba, encima de la tarjeta-chuleta.
  • Pero si nos dice que no, colocaremos la tarjeta sobre la mesa con el cohete apuntando hacia abajo, hacia nosotros, igualmente encima de la tarjeta-chuleta.

A continuación repetimos el mismo procedimiento con el cohete 2, colocando la tarjeta sobre el cohete 1 en la posición adecuada. Cuando hemos terminado de preguntar sobre las 4 tarjetas tendremos nuestro montón con todas las tarjetas colocadas sobre la mesa.

Cuadrando y alineando todas contra la mesa por el lado derecho podremos descubrir que sólo hay un planeta que está marcado con cuatro estrellas. Ese será el planeta elegido por el espectador (en este ejemplo Saturno).

¡¡Esperamos que disfrutéis estos juegos!!

Publicado por Nelo Maestre en Matemagia, 5 comentarios
¡Feliz año 2020! – Árboles navimágicos

¡Feliz año 2020! – Árboles navimágicos

Se acercan las vacaciones de navidad y qué mejor que sorprender a los amigos y la familia con un asombroso juego de magia. Estas fiestas, como cada año, queremos enseñaros una felicitación de lo más original. Vamos a explicaros cómo construir un grupo de árbolitos navimágicos que servirán tanto para decorar como para sorprender. ¡Empecemos el 2020 con mucha magia!

Para construirte estos árboles navideños solo necesitarás pegamento, tijeras y la hoja del recortable que puedes descargar aquí:

Feliz 2020 (grandes) – Divermates

Feliz 2020 (pequeños) – Divermates

Ten en cuenta que necesitaremos 9 árboles navimágicos diferentes. Puedes descargarte el primer documento con los árboles en dos páginas, más grandes, o el segundo documento con todos los árboles en un sólo A4. Quedan un poco más pequeños pero son igualmente válidos.

En realidad para formarnos cada árbol sólo tenemos que montar un cono. Lo primero que tenemos que hacer será recortar todas las piezas.

Para formar un cono, en contra de lo que nos dice la intuición, nunca doblaremos la pestaña, ya que nos deformaría el cono. Para que nos quede la forma perfecta seguiremos los siguientes pasos:

Primero doblaremos un poquito la punta, como muestra la imagen.

A continuación daremos forma curva a todo el cono ayudándonos de un lápiz o del borde de una mesa.

Por último pegaremos la solapa para tener nuestro cono terminado. Como hemos dicho nunca doblaremos la solapa. Además, recomendamos echar el pegamento por dentro del cono, ya que quedará más limpio que si lo echamos directamente en la solapa. Tenemos que pegar con cuidado, haciendo coincidir la línea discontinua con el borde del papel.

¡Ya tenemos listos nuestros árboles navimágicos!

¿Cómo funciona?

En realidad con estos arbolitos podremos realizar dos juegos de magia diferentes. A continuación os dejamos un video explicativo donde contamos los dos juegos.

Orden y caos

Aunque recomendamos ver el vídeo os dejamos un esquema de los pasos a seguir:

  • Ordena los 9 árboles de forma que aparezca la frase FELIZ_AÑO y apílalos uno a uno en orden, dejando la F arriba del todo.
  • Puedes cortar todas las veces que quieras (cortar, no mezclar).
  • Reparte en dos montones uno a uno y coloca un montón sobre el otro.
  • Puedes volver a cortar de nuevo cuántas veces quieras.
  • Reparte de nuevo en dos montones y coloca uno sobre el otro.
  • Muestra al espectador el caos en el que tenemos los árboles, enseñando el desorden de las letras.
  • Realiza un tercer reparto en dos montones y coloca uno sobre el otro (fíjate en este momento dónde está el árbol con la letra F).
  • Corta una vez más (o todas las que quieras), dejando la F arriba del todo.
  • Chasquea los dedos y ve mostrando los árboles navimágicos… ¡están todos colocados!

Este juego lo explicamos con cartas en nuestra conferencia de matemagia. Resumidamente, el juego se basa en la aritmética del reloj módulo nueve, y en lo que en magia llamamos “mezcla antifaro”. La clave está en los tres repartos que realizamos en dos montones. Al inicio todos nuestros árboles están ordenados. Todos los cortes que vamos haciendo durante el juego no alteran el orden cíclico de nuestras letras, sirven sólo para aparentar más caos. Tras el primer reparto en dos montones las letras saltan de dos en dos, pero invirtiendo el sentido. Después del segundo reparto las letras saltan de cuatro en cuatro pero se recupera el sentido inicial (es aquí donde mostramos el caos). Y, por último, con el tercer reparto el salto es de ocho en ocho, pero invirtiendo el sentido de nuevo. Esto significa que, al tener 9 árboles, saltar de ocho en ocho hacia atrás, es lo mismo que saltar de uno en uno hacia adelante.

Árboles navimágicos

De nuevo, aunque recomendamos ver el video, os dejamos un pequeño esquema del procedimiento del juego:

  • Recuerda que para este juego sólo necesitas los 8 árboles con las letras FELIZAÑO (quitamos el árbol sin letra).
  • De nuevo comienza con los 8 árboles ordenados, y antes de apilarlos uno a uno en orden, pídele a tu espectador que piense en uno de ellos.
  • Sin mezclar ni cortar realiza un reparto de todos los árboles en dos montones uno a uno. En este caso debes pedirle al espectador que se fije en qué montón está el árbol elegido.
  • Recoge los dos montones colocando el que NO contiene el árbol elegido por el espectador sobre el que SI lo contiene.
  • Repite el reparto, vuelve a pedirle al espectador que te diga dónde está su árbol y recoge de igual manera (NO sobre SI).
  • Repite una tercera vez este mismo paso. En este punto los árboles han terminado en una colocación muy especial.
  • Llega el momento de enseñar esos tres árboles tan especiales que nos dirán toda la información acerca del árbol pensado. Realiza un reparto más, con cuidado de empezar esta vez por la izquierda.
  • Coge el montón de la derecha (en el que has puesto el último árbol), y realiza otro reparto con ese montón más pequeño.
  • Tenemos ahora tres árboles. Recuerda: el primero nos enseña el color de las bolas del árbol elegido, el segundo nos enseña el color del espumillón, y el último, el color del árbol. Puedes recordar el orden porque está colocado del elemento más pequeño (las bolas) al elemento más grande (el árbol).
  • Además, ¡el árbol elegido es justo el que está debajo de este último árbol navimágico!

Este segundo juego puede resultar algo más complejo. No obstante, próximamente realizaremos una nueva entrada con otro juego similar explicando las matemáticas que esconde.

Esperamos que disfrutéis estos juegos y sorprendáis a todos vuestros familiares y amigos. ¡Felices fiestas y feliz 2020!

 

Publicado por Tania Giraldo Sastre en Matemagia, Navidad, 0 comentarios
Matemáticas del Caribe, nueva versión cuadriculada

Matemáticas del Caribe, nueva versión cuadriculada

Hace tiempo os enseñamos el juego de matemagia «Matemáticas del Caribe». En este juego, navegando por las aguas del Caribe, el mago conseguía adivinar una isla pensada por un espectador. La clave del juego está en las propiedades de la suma y la resta de los vectores. En nuestro diseño original del juego optamos por establecer las coordenadas de las islas sobre un plano triangulado. Tras enseñar el juego en numerosos cursos de profesores y, a petición popular, hemos realizado una versión sobre un plano cuadriculado. De esta forma podremos trabajar en clase con los vectores de una forma más sencilla.

Para probar esta nueva versión del juego sólo necesitas el mapa y las tarjetas que puedes descargarte aquí:

Matemáticas del Caribe – Divermates

LA VERSIÓN QUE TENÍAMOS COLGADA TENÍA UNA ERRATA, MUY PRONTO VOLVERÁ A ESTAR DISPONIBLE, MIENTRAS TANTO PUEDES UTILIZAR LA VERSIÓN DE LA ENTRADA ORIGINAL

Recuerda imprimir las tarjetas a doble cara, girando la hoja como si la encuadernación estuviera en el lado corto de la hoja. De nuevo puedes comprobar que están bien impresas fijándote que detrás de la isla de Dominica tienes el vector más corto.

Si aún no sabes cómo funciona este juego no dudes en visitar la entrada original, donde te explicamos todos los secretos:

Matemáticas del Caribe, navegando con Vectores

¿Te atreves a formarte tu propio mapa con otra colocación y otras tarjetas diferentes? ¡Viento en popa y a toda vela!

 

Publicado por Tania Giraldo Sastre, 2 comentarios
Una regla para dibujar espirales logarítmicas y deshacer mitos

Una regla para dibujar espirales logarítmicas y deshacer mitos

¿Quién no ha escuchado alguna vez que la espiral áurea la podemos encontrar en la forma de la concha del nautilus? ¿Qué nos diríais si os demostráramos que esta afirmación es completamente falsa?

Empecemos por el principio. ¿Qué es una espiral? En nuestro taller de “espirales”, destinado a alumnos de 4º de primaria, explicamos que una espiral se consigue combinando dos tipos de movimiento: uno circular alrededor de un punto, y uno lineal alejándose de dicho punto. De esta forma, una espiral es una línea curva generada por un punto que se va alejando progresivamente de un centro a la vez que gira alrededor de él. Con muchos ejemplos y varios métodos diferentes, los alumnos diferencian y dibujan espirales arquimedianas y logarítmicas.

Por otro lado, en nuestro taller «creciendo en proporción», destinado a 1º de la ESO, hablamos de la sucesión de Fibonacci y del número áureo. Después de ver montones de ejemplos que aparecen por sí solos en la naturaleza, los alumnos quedan fascinados con la magia de este número. Una vez presentado el número áureo, mostramos los rectángulos áureos y, también, las espirales áureas.

Aunque, como hemos dicho, en muchos libros y artículos relacionan la espiral dorada con la espiral del nautilus, si medimos con un calibre, o comparamos ambas espirales, vemos rápidamente que esta información es errónea. En la imagen puede verse cómo claramente ambas espirales no coinciden. Las dos espirales son logarítmicas y, además, están relacionadas con el número áureo, pero tienen diferente razón de crecimiento. Empiezan y terminan en el mismo punto pero el nautilus va abriéndose mucho más lentamente, es decir, da más vueltas hasta llegar al punto final.

Una regla que dibuja espirales

Basándonos en un método explicado por el gran Martin Gardner en su libro «El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos», en Divermates hemos querido enseñaros cómo construir una regla con la que podréis dibujar las dos espirales que queremos comparar y que tanta controversia han dado en el mundo de las matemáticas. En este libro Gardner nos enseña cómo fabricarnos una regla para construir espirales logarítmicas.

El ángulo a puede tomar cualquier valor entre 0º y 180º. Si escogemos exactamente un ángulo de 90º, estaremos dibujando una circunferencia, y si usamos un ángulo de 74º39′, la espiral resultante sería su propia envolvente. En nuestra regla hemos aprovechado los dos extremos para realizar dos espirales distintas. Justamente hemos seleccionado los ángulos que nos dibujarán las dos espirales a comparar: la espiral áurea y la espiral del nautilus.

Para construirte esta regla sólo necesitarás pegamento, tijeras, y las reglas que podrás descargarte aquí:

Regla para espirales (rectificada)

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Recomendamos imprimir la regla en cartulina, para tener más rígidez. En cada copia vienen cuatro reglas. Lo primero que tienes que hacer es separar una de ellas, recortando el rectángulo por la línea más gruesa.

A continuación vamos a doblar por la línea de puntos y echar pegamento por la parte de atrás. Esto lo haremos para pegar doble capa de cartulina y así reforzar nuestra regla.

Por último, ya con la doble capa hecha, vamos a recortar la forma exacta de la regla.

¡Ya tienes tu regla! Sigue leyendo para entender cómo funciona.

¿Cómo funciona?

Lo primero que tenemos que hacer es marcar el polo de nuestra espiral. Una vez marcado vamos a mover la regla dejando el borde interno siempre sobre este polo. Lo más sencillo es clavar una aguja o un alfiler para apoyar la regla sobre él. A partir de aquí, iremos trazando pequeños segmentos apoyándonos en la recta oblicua mientras vamos girando nuestra regla en torno al polo, en dirección horaria o antihoraria. Es importante que al girar la regla siempre tengamos el borde interno situado tocando el polo. Además, tenemos que dibujar estos segmentos uniendo cada uno con el siguiente. El mecanismo asegura que todas estas cuerdas corten el radio vector formando el mismo ángulo. Es exactamente este hecho el que hace que la regla funcione, ya que al ser la espiral logarítmica una espiral equiangular, el ángulo entre el radio vector y la tangente es constante.

Al dibujar nuestra espiral con pequeños segmentos se produce un efecto que se asemeja mucho a la forma en que muchas arañas tejen su tela.

Espiral áurea y espiral del nautilus

Una vez que dibujadas ambas espirales puedes observar y comprobar sus diferencias.  En la imagen puedes ver en rojo la espiral áurea y en verde la espiral del nautilus.

En el lado exterior de la regla hemos incluido, a cada lado, una cota con el crecimiento de ambas espirales. Podrás encontrar un punto en tu espiral donde, al poner el punto medio de la cota sobre el polo, las longitudes hasta las ramas de la espiral a cada lado coincidirán con las cotas. Como ves, ambas están relacionadas con el número de oro, una con phi y la otra con su cuadrado.

Al ser en la espiral del nautilus la proporción 1 al número de oro, si tenemos a mano un compás áureo podemos comprobar que esta proporción se cumple en todos los puntos de la espiral. Nosotros lo hemos comprobado con el compás áureo de Divermates.

¿Y entonces por qué se han relacionado siempre estas dos espirales como iguales?

No está muy claro. En el libro Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes, de Matila C. Ghyka, se habla de la relación del número de oro con el crecimiento de la concha de diferentes moluscos, pero distingue tres tipos de espirales.

  • En la primera, la pulsación radial es el número de oro. Esta pulsación radial se refiere a la relación entre las distancias al dar una vuelta y la siguiente, en una misma dirección.

OC/OB=ϕ

  • En la segunda, la pulsación diametral es el número de oro. Esta pulsación diametral se refiere a la relación entre las distancias a un punto y al punto diametralmente opuesto siguiente, situado a 180º. Justo esta espiral es la correspondiente al nautilus.

OD/OD´=ϕ

  • En la última, la pulsación cuadrantral es el número de oro. Esta pulsación cuadrantal se refiere a la relación entre las distancias a un punto y al siguiente punto situado a 90º. Al tener pulsación cuadrantal ϕ, esta espiral tendrá pulsación diametral ϕ2, por lo que es justo la espiral de Durero.

OD/OD´´=ϕ

Posteriormente, en el cortometraje Donald en el país de las matemáticas, lanzado en 1959, el “señor Espíritu” enseña a Donald el número de oro y las proporciones áureas. Llega un momento en el que con la ayuda de la concha del nautilus, el Espíritu explica que las proporciones mágicas de la sección dorada son a menudo encontradas en las espirales de los diseños de la naturaleza. En realidad, lo que muestra en el fotograma de la imagen es que los segmentos naranjas, los verticales, están todos en proporción áurea. A partir de esos segmentos completa la espiral haciéndola coincidir con la espiral del nautilus. En realidad, las relaciones indicadas son correctas, pero desde Divermates creemos que ha podido dar lugar a que muchos espectadores relacionen directamente la espiral del molusco con la espiral áurea, aunque no sea correcta esta igualdad.

Como vemos, efectivamente la espiral del nautilus está relacionada con el número áureo. Dicha relación ha podido llegar, con el paso de los años, de libro en libro y artículo en artículo, a relacionar, erróneamente, la espiral del nautilus con la espiral áurea.

En cualquier caso, esta falsa relación nos parece un buen ejemplo con el que enseñar a los más jóvenes que las matemáticas, y la ciencia en general, deben buscar el pensamiento crítico, y que se debe cuestinar y comprobar todo, incluso lo que muchas veces damos por cierto solo por haberlo leído en muchos libros o páginas web.

 

Notas

Lo más importante de la ciencia es que todos nos revisamos continuamente para ser lo más rigurosos posibles. Ante la publicación de nuestra entrada sobre la espiral áurea y la del Nautilus hemos recibido un comentario de José R. Galo Sánchez señalando que nuestra aproximación no es la más ajustada. A pesar de recogerse en alguna bibliografía (Fletcher, R. (Feb 1988). Proportion and the Living World. Parabola,13 (1)), parece ser que la pulsación diametral 1:phi que incluimos en nuestro artículo no es la mejor aproximación a la espiral de la concha del Nautilus. Como José R. Galo Sánchez indica en su artículo (Galo Sánchez, J.R., Cabezudo Bueno, Á., y Fernández Trujillo, I. (2016). Sobre la forma y el crecimiento cordobés del Nautilus Pompilius. Épsilon, 33 (94),81-110.) el factor de crecimiento del Nautilus es 3 o próximo a 3 (lo que supondría una pulsación cuadrantal r=1,31607), por lo que realmente la espiral cordobesa se ajustaría con mucha más precisión (pulsación cuadrantal 1,3065 frente nuestra pulsación cuadrantal sqrt(phi)=1,2720).

Puedes descargarte una nueva regla que hemos diseñado donde podrás comparar estas dos espirales:

Regla espiral cordobesa

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BIBLIOGRAFIA

Gardner, M. (2018), El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos, Madrid, Alianza Editorial

Ghyka, M. (1946), The geometry of Art and Life, Dover Publications

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Curiosidades, 3 comentarios
El juego del cerdo, un éxito en el Campamento Divermates

El juego del cerdo, un éxito en el Campamento Divermates

¡Ya estamos de vuelta! El nuevo curso comenzó hace algunas semanas, y nosotros ya estamos planeando este nuevo año muy ilusionados. Como muchos sabéis durante todo el mes de julio hacemos una Escuela de Verano en la Universidad. Este año dedicamos parte del tiempo del campamento a jugar a diferentes juegos con dados. Por eso hoy queremos enseñaros el juego del cerdo, un éxito entre los asistentes más jóvenes del campamento.

El juego del cerdo fue originalmente desarrollado en 1945 por John Scarne, un importante mago, que además fue doble de manos de Paul Newman en la película «El golpe». Actualmente hay distintas versiones con variaciones en las reglas, y nosotros hemos hecho nuestra propia adaptación. Para jugar sólo necesitarás conseguir una ficha para cada jugador (de parchís o similares), un dado y el tablero que puedes descargarte aquí:

El juego del cerdo

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Reglas del juego del cerdo

Reinier Knizia, un diseñador de juegos al que conoceréis por algunos de los juegos que hemos versionado para el Divermazo, ha descrito el juego del cerdo como un «juego de dados de riesgo». Estos juegos se denominan así por poner en peligro tus ganancias anteriores. El juego del cerdo entra dentro de esta categoría porque puedes seguir tirando el dado cuantas veces quieras, asumiendo el riesgo de, al final, quedarte sin nada.

El objetivo del juego es llegar hasta la última casilla del tablero. Para ello, en cada turno, un jugador tira un dado hasta que saque un seis o hasta que decida plantarse:

  • Si el jugador saca un 6, no puntúa nada, pierde todo lo acumulado en esa ronda y pasa el turno al siguiente jugador.
  • Si saca cualquier otro número, lo suma al total de lo acumulado en esa ronda y decide si plantarse o seguir tirando.
  • Cuando un jugador se planta, avanza tantas casillas en el tablero como el total acumulado en esa ronda y pasa el turno al siguiente jugador.

Además, en nuestra versión de Divermates, hemos añadido casillas con cerditos tristes y cerditos contentos. Si al plantarte en tu turno y avanzar tu ficha llegas a un cerdito triste, tendrás que retroceder dos casillas. Si, por el contrario, llegas a un cerdito contento, ¡estás de suerte!, avanzas cinco casillas más. Pero ojo, estos cerdos sólo afectan al total de la tirada, cuando el jugador finalmente ha decidido plantarse y acumular su puntuación.

Ejemplo de partida:

Rosa tira el dado y saca un 5. Decide seguir tirando y saca un 3. En su tercera tirada, saca un 6. Por tanto, Rosa pierde el turno y no acumula ninguna puntuación.

Pasa el turno a Adrián, que en su primera tirada, saca un 2. A continuación saca un 1. Decide seguir tirando y saca un 5. Se arriesga una vez más, sacando un 4. Entonces decide plantarse. Al sumar las cuatro tiradas, 2+1+5+4 obtiene un total de 12 puntos en su turno, por lo que avanza esa cantidad de casillas en el tablero. En la próxima ronda, después de que juegue Rosa, Adrián podrá avanzar más casillas si se planta a tiempo, pero si sale un 6 no avanzará, se mantendrá en la casilla 12 a la que llegó en este turno.

Estrategia óptima

La estrategia óptima para el juego del cerdo con dos jugadores fue calculada por Todd W. Neller y visualizada por Clifton G.M. Presser en 2001. Para decidir si el jugador debe seguir tirando el dado o plantarse, basa su estudio en la puntuación tanto del propio jugador como del oponente y el total alcanzado en el turno. Con estas tres variables se crea un gráfico en tres dimensiones. De esta forma se crea el volumen gris de la figura. Si al introducir las tres variables, el resultado queda dentro del volumen gris, el jugador debería seguir tirando los dados. Si, por el contrario, el resultado queda fuera de dicho volumen, se recomienda al jugador plantarse y acumular su puntuación.

Aunque este estudio es bastante complejo, el juego del cerdo puede servir como ejemplo para estudiar ciertos conceptos de probabilidad. Es fácil mostrar a los más pequeños cómo de arriesgado es seguir tirando un dado en su turno correspondiente. ¿Qué probabilidad hay de sacar un seis al tirar un dado? ¿y de sacar un seis en la segunda tirada? ¿y de no sacar un seis en cinco tiradas?

Es un gran juego para que los pequeños practiquen el cálculo mental, haciendo que cada uno vaya calculando el total acumulado por el jugador en turno.

Además podemos aplicar diferentes variables didácticas. Para mejorar aún más el cálculo mental, podemos no permitir a los jugadores que avancen la ficha contando las casillas de una en una, sino que lo hagan sumando el total a la casilla en la que estaban (si estoy en el 27 y en este turno he acumulado 22, acabaré en la casilla…). Incluso podemos practicar la resta jugando en orden inverso, empezando en la casilla 99 y siendo la meta el 0. Así, en cada turno, los jugadores tendrán que restar el total acumulado para poder ir retrocediendo hasta llegar a meta.

Esperamos que probéis el juego en clase con vuestros alumnos y no olvidéis dejadnos un comentario con vuestras valoraciones y mejoras para el juego.

¡¡Os deseamos un curso 2019-2020 lleno de diversión y aprendizaje!!

 

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Tarjetas lógicas del libro «Este no es el título de este libro»

Tarjetas lógicas del libro «Este no es el título de este libro»

Recientemente el País ha lanzado una colección de libros inéditos realizados por reconocidos especialistas y divulgadores de los grandes temas de las matemáticas: «Grandes ideas de las matemáticas». En Divermates podemos presumir de que nuestro Director y Jefe Creativo, Nelo Maestre, ha participado escribiendo el quinto de los 40 libros que completan la colección. En su libro, «Este no es el título de este libro. Paradojas, axiomas y fundamentos de las matemáticas», concretamente en el capítulo uno, Nelo nos habla de las llamadas tarjetas lógicas. A lo largo del capítulo Nelo introduce el lenguaje lógico, llegando un momento en que referencia un grupo de tarjetas lógicas ya estudiadas por Martin Gardner en su libro «Máquinas y diagramas lógicos». Lo sorprendente de estas tarjetas es que pueden facilitarnos notablemente la resolución de problemas sencillos de lógica proposicional.

¿Qué son las tarjetas lógicas?

La idea básica de estas tarjetas es automatizar la evaluación de proposiciones lógicas. Dada una proposición nos dirá para que valores de veracidad o falsedad de cada variable A, B y C la proposición evaluada es correcta.

Conviene señalar los símbolos lógicos que utilizaremos para referirnos a cada concepto.

  • Conjunciones o (˅) e y (˄).
  • Negación (¬).
  • Equivalencia (≡) e implicación (→).

Para hacerte con estas tarjetas sólo tendrás que descargártelas aquí:

Tarjetas lógicas – Divermates

Por un lado tenemos la tarjeta base que nos muestra en los hexágonos las combinaciones de las variables A, B y C, en los casos en que cada variable es cierta o lo es su negación.

Por otro lado tenemos las tarjetas perforadas, que tendremos que agujerear una vez impresas, recortando las zonas sombreadas. En cada lado de estas tarjetas aparecen distintas premisas, y algunas sentencias equivalentes entre paréntesis. A veces es necesario imprimir varias tarjetas para tener más de una copia.

¿Cómo funcionan las tarjetas lógicas?

Cada una de las tarjetas perforadas tiene tres posiciones diferentes. Cuando queramos evaluar una sentencia tendremos que asegurarnos que ponemos la premisa a evaluar sobre el símbolo ¿? de la tarjeta base.

Para su uso, sólo tenemos que saber que la conjunción «y», representada mediante el símbolo ˄, se evalúa simplemente poniendo premisas una sobre otra, y todas ellas sobre la tarjeta base. Hay que tener cuidado de colocar todas las tarjetas en la posición correcta, según la sentencia que queramos evaluar.

A continuación te dejamos un video explicativo:

 

 

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Felicitación Navideña – Calendario 2019

Felicitación Navideña – Calendario 2019

Con la llegada de estas fiestas tan esperadas queremos desearos un feliz año nuevo con un calendario que podréis llevar en el bolsillo. Os presentamos nuestro calendario-flexágono, con el que tendréis los doce meses del año en un único trozo de papel cuadrado. Pero cuidado, al principio sólo podrás ver cuatro meses, ¡el resto permanecerán ocultos hasta que llegue el momento adecuado!

¿Qué es un flexágono?

Un flexágono es una construcción, generalmente de papel, con forma de polígono. Cada cara contiene varias capas de papel «entrelazadas», de forma que al doblar por los lugares adecuados podemos encontrar otras caras de papel que al principio estaban escondidas. Digamos que es un trozo de papel que tiene más de dos caras. Pero los flexágonos no son solo un divertido pasatiempo, también son un objeto matemático que despertó mucho interés en el ámbito de la geometría y la topología.

Estas figuras fueron descubiertas en 1939 por Arthur Stone, quien descubrió el flexágono de seis lados. Arthur estudiaba matemáticas en la Universidad de Princeton, en Estados Unidos, donde el tamaño de los folios era mayor que el utilizado en Inglaterra. Cuentan que un día, al cortar sus apuntes para que entraran en una carpeta inglesa, se puso a plegar distraídamente las tiras de papel sobrantes. Fue así como logró, de forma accidental, construir un flexágono. Este primer flexágono, denominado actualmente “trihexaflexágono”, constaba sólo de tres caras, es decir, las dos visibles más una oculta. Al mostrarlo a otros profesores y amigos rápidamente se formó el «Princeton Flexagon Committee», que se dedicó a estudiarlos. Entre sus miembros estaba, entre otros, el científico Richard Feynman. Ellos decidieron llamar a este objeto flexágono, seguramente de la unión de flexar y polígono.

No existe únicamente este flexágono. El mismo Stone consiguió construir al día siguiente un nuevo flexágono con un total de seis caras, denominado actualmente “hexahexaflexágono». Aunque los más populares son los flexágonos con forma de hexágono o rectángulo, actualmente conocemos muchos otros, con formas muy diversas, y escondiendo cada uno distinta cantidad de caras en su interior.

Como hemos dicho, nuestro calendario es un cuadrado, es decir, un flexágono de cuatro lados. En él tenemos dos caras visibles más cuatro ocultas. A este flexágono se le conoce como “hexatetraflexágono”:

  • Hexa: seis caras.
  • Tetra: cuatro lados.
  • Flexágono.

Calendario 2019

Para construir este calendario sólo necesitarás tijeras, cúter y regla, pegamento y la plantilla que puedes descargarte aquí:

Calendario 2019 – Divermates

Lo primero que tenemos que hacer es dejar lista nuestra pieza de papel inicial, previa al doblado que nos formará el flexágono. Esta pieza consistirá en un cuadrado de 4×4, con un hueco central de 2×2, como muestra la imagen. Además, tendrá imagen por ambas caras.

Para empezar, tenemos que quitar todas las partes blancas de la hoja. Para ello, recortaremos por el borde, pero también la H central. En esta H central no basta sólo con hacer un corte con el cúter, pues tendremos que sacar la tira blanca con todo su grosor. Este detalle es importante para que después cambiar entre las caras de nuestro flexágono sea más sencillo. Cuidado, la línea blanca discontinua NO hay que recortarla.

A continuación doblamos, hacia atrás, por las cuatro líneas discontinuas.

Por último, vamos a echar pegamento por las partes no impresas, para pegar las capas dobladas anteriormente.

De esta manera tendremos la pieza de papel que buscábamos, que forma un anillo de doce cuadrados y con impresión por ambas caras.

Antes de continuar, vamos a doblar en ambas direcciones por todas las separaciones de los doce cuadrados. Ten en cuenta que algunas líneas no se ven por tener relleno negro a ambos lados. Te aconsejamos que primero dobles el cuadrado completo por la mitad en horizontal y vertical, así puedes situar esos dobleces en su lugar, aunque no estén marcados en la impresión. Después puedes doblar los bordes del cuadrado hacia ese doblez central, y así todo queda en su lugar correcto. Es importante doblar hacia delante y hacia atrás, para facilitar el uso del flexágono.

Comenzamos ahora con el doblado que nos llevará al flexágono. Para empezar tenemos que colocar nuestra pieza de papel en su posición correcta. Para ello lo colocaremos de forma que en el cuadrado superior derecho aparezca la foto de Sophie Germain, como muestra la imagen.

Cuando tenemos nuestra pieza bien colocada vamos a realizar una serie de doblados. Comenzando por el lado de arriba, doblamos la fila superior hacia abajo. A continuación doblamos la columna de la derecha hacia dentro, y por último la fila inferior hacia arriba.

El último doblez, el de la izquierda, es el más complejo. Os dejamos como reto conseguir doblarlo de forma que el calendario quede bien montado. Esto es, que se vean los cuatro cuadrados naranjas por un lado y los rojos por otro. No te preocupes si no lo consigues. Al final te dejaremos un vídeo explicativo del montaje del flexágono.

¡Ya tienes tu calendario listo! Si todo ha salido correctamente tendremos por un lado del cuadrado los meses Enero y Febrero, y por el otro, Julio y Agosto.

¿Cómo funciona?

A continuación te enseñamos cómo mover el flexágono para hacer aparecer el resto de meses ocultos:


¡Divermates os desea unas felices fiestas y un feliz y muy matemático año 2019!

BIBLIOGRAFIA

Puedes aprender más sobre flexágonos, o construirte tus propios flexágonos visitando las siguientes páginas web:

Flexagon

Hexahexaflexagon y tetraflexagon

Entrada sobre flexágonos de la Wikipedia en inglés (hay enlaces al final a varias páginas con patrones)

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Navidad, 7 comentarios
Revoluciones matemáticas

Revoluciones matemáticas

Nos alegra mucho presentaros el proyecto en el que hemos estado trabajando durante los últimos meses:

Revoluciones matemáticas es una serie de vídeos de animación en los que se narran momentos de la historia de las matemáticas que han cambiado el desarrollo de la civilización, presentando a las personas que lideraron aquellos cambios. En cada episodio iremos contando las historia de los grandes avances de la matemática y de los personajes que estuvieron en aquellas revoluciones.

El proyecto está financiado por la Fundación General CSIC (FGCSIC) y producido por la Unidad de Cultura Científica del ICMATDivermates y la animadora Irene López.

Puedes ver el primer capítulo pinchando aquí:

Junto con cada capítulo hay unas actividades complementarias, elaboradas por Divermates, que podéis utilizar en clase:

Actividades complementarias del capítulo 1

El segundo capítulo: La conquista de los números

Y sus actividades complementarias, elaboradas por Divermates:

Actividades complementarias del capítulo 2

El tercer capítulo: Newton, sus ovejas y su cálculo

Y sus actividades complementarias, elaboradas por Divermates:

Actividades complementarias del capítulo 3

El cuarto capítulo: Los límites de las matemáticas

Y sus actividades complementarias, elaboradas por Divermates:

Actividades complementarias del capítulo 4

Comenzamos con la segunda temporada y su primer capítulo relacionado con Emmy Noether

No te olvides de sus actividades complementarias, como siempre, elaboradas por Divermates:

Actividades complemetarias del capítulo 1 (temporada 2)

El segundo capítulo de la segunda temporada habla de la vida de Leonhard Euler

Y sus actividades complementarias:

Actividades complementarias del capítulo 2 (temporada 2)

El tercer capítulo de la segunda temporada habla de la vida de Ada Lovelace

Y sus actividades complementarias:

Actividades complementarias del capítulo 3 (temporada 2)

El tercer capítulo de la segunda temporada habla de la vida de Henri Poincaré

Y sus actividades complementarias:

Actividades complementarias del capítulo 4 (temporada 2)

No olvides que nos gustaría poder elaborar muchos más, y para ello necesitamos que los vídeos tengan muchas reproducciones. Así que no dudes en mostrarlos y compartirlos con todas aquellas personas que necesiten saber lo importantes que han sido las matemáticas en nuestra historia y en nuestras vidas.

Muchas gracias por adelantado y vivan las mates!!!

Publicado por Nelo Maestre en Curiosidades, Divermates en acción, 1 comentario
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