Construcciones

Felicitación Navideña – Calendario 2019

Felicitación Navideña – Calendario 2019

Con la llegada de estas fiestas tan esperadas queremos desearos un feliz año nuevo con un calendario que podréis llevar en el bolsillo. Os presentamos nuestro calendario-flexágono, con el que tendréis los doce meses del año en un único trozo de papel cuadrado. Pero cuidado, al principio sólo podrás ver cuatro meses, ¡el resto permanecerán ocultos hasta que llegue el momento adecuado!

¿Qué es un flexágono?

Un flexágono es una construcción, generalmente de papel, con forma de polígono. Cada cara contiene varias capas de papel «entrelazadas», de forma que al doblar por los lugares adecuados podemos encontrar otras caras de papel que al principio estaban escondidas. Digamos que es un trozo de papel que tiene más de dos caras. Pero los flexágonos no son solo un divertido pasatiempo, también son un objeto matemático que despertó mucho interés en el ámbito de la geometría y la topología.

Estas figuras fueron descubiertas en 1939 por Arthur Stone, quien descubrió el flexágono de seis lados. Arthur estudiaba matemáticas en la Universidad de Princeton, en Estados Unidos, donde el tamaño de los folios era mayor que el utilizado en Inglaterra. Cuentan que un día, al cortar sus apuntes para que entraran en una carpeta inglesa, se puso a plegar distraídamente las tiras de papel sobrantes. Fue así como logró, de forma accidental, construir un flexágono. Este primer flexágono, denominado actualmente “trihexaflexágono”, constaba sólo de tres caras, es decir, las dos visibles más una oculta. Al mostrarlo a otros profesores y amigos rápidamente se formó el «Princeton Flexagon Committee», que se dedicó a estudiarlos. Entre sus miembros estaba, entre otros, el científico Richard Feynman. Ellos decidieron llamar a este objeto flexágono, seguramente de la unión de flexar y polígono.

No existe únicamente este flexágono. El mismo Stone consiguió construir al día siguiente un nuevo flexágono con un total de seis caras, denominado actualmente “hexahexaflexágono». Aunque los más populares son los flexágonos con forma de hexágono o rectángulo, actualmente conocemos muchos otros, con formas muy diversas, y escondiendo cada uno distinta cantidad de caras en su interior.

Como hemos dicho, nuestro calendario es un cuadrado, es decir, un flexágono de cuatro lados. En él tenemos dos caras visibles más cuatro ocultas. A este flexágono se le conoce como “hexatetraflexágono”:

  • Hexa: seis caras.
  • Tetra: cuatro lados.
  • Flexágono.

Calendario 2019

Para construir este calendario sólo necesitarás tijeras, cúter y regla, pegamento y la plantilla que puedes descargarte aquí:

Calendario 2019 – Divermates

Lo primero que tenemos que hacer es dejar lista nuestra pieza de papel inicial, previa al doblado que nos formará el flexágono. Esta pieza consistirá en un cuadrado de 4×4, con un hueco central de 2×2, como muestra la imagen. Además, tendrá imagen por ambas caras.

Para empezar, tenemos que quitar todas las partes blancas de la hoja. Para ello, recortaremos por el borde, pero también la H central. En esta H central no basta sólo con hacer un corte con el cúter, pues tendremos que sacar la tira blanca con todo su grosor. Este detalle es importante para que después cambiar entre las caras de nuestro flexágono sea más sencillo. Cuidado, la línea blanca discontinua NO hay que recortarla.

A continuación doblamos, hacia atrás, por las cuatro líneas discontinuas.

Por último, vamos a echar pegamento por las partes no impresas, para pegar las capas dobladas anteriormente.

De esta manera tendremos la pieza de papel que buscábamos, que forma un anillo de doce cuadrados y con impresión por ambas caras.

Antes de continuar, vamos a doblar en ambas direcciones por todas las separaciones de los doce cuadrados. Ten en cuenta que algunas líneas no se ven por tener relleno negro a ambos lados. Te aconsejamos que primero dobles el cuadrado completo por la mitad en horizontal y vertical, así puedes situar esos dobleces en su lugar, aunque no estén marcados en la impresión. Después puedes doblar los bordes del cuadrado hacia ese doblez central, y así todo queda en su lugar correcto. Es importante doblar hacia delante y hacia atrás, para facilitar el uso del flexágono.

Comenzamos ahora con el doblado que nos llevará al flexágono. Para empezar tenemos que colocar nuestra pieza de papel en su posición correcta. Para ello lo colocaremos de forma que en el cuadrado superior derecho aparezca la foto de Sophie Germain, como muestra la imagen.

Cuando tenemos nuestra pieza bien colocada vamos a realizar una serie de doblados. Comenzando por el lado de arriba, doblamos la fila superior hacia abajo. A continuación doblamos la columna de la derecha hacia dentro, y por último la fila inferior hacia arriba.

El último doblez, el de la izquierda, es el más complejo. Os dejamos como reto conseguir doblarlo de forma que el calendario quede bien montado. Esto es, que se vean los cuatro cuadrados naranjas por un lado y los rojos por otro. No te preocupes si no lo consigues. Al final te dejaremos un vídeo explicativo del montaje del flexágono.

¡Ya tienes tu calendario listo! Si todo ha salido correctamente tendremos por un lado del cuadrado los meses Enero y Febrero, y por el otro, Julio y Agosto.

¿Cómo funciona?

A continuación te enseñamos cómo mover el flexágono para hacer aparecer el resto de meses ocultos:


¡Divermates os desea unas felices fiestas y un feliz y muy matemático año 2019!

BIBLIOGRAFIA

Puedes aprender más sobre flexágonos, o construirte tus propios flexágonos visitando las siguientes páginas web:

Flexagon

Hexahexaflexagon y tetraflexagon

Entrada sobre flexágonos de la Wikipedia en inglés (hay enlaces al final a varias páginas con patrones)

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Navidad, 7 comentarios
El Astrolabio, el GPS más antiguo

El Astrolabio, el GPS más antiguo

¿Os habéis preguntado alguna vez cómo los antiguos marineros hacían para no perderse en alta mar sin contar con los GPS tan modernos que tenemos hoy en día? Queremos enseñaros hoy el uso del astrolabio, dejándoos además las herramientas necesarias para construiros vuestro propio astrolabio casero. Un astrolabio es un antiguo instrumento que permite determinar la posición y altura de un astro y deducir, según ésta, la hora y la latitud en la que te encuentras. Es importante saber que un astrolabio sirve sólo para una latitud en concreto. Así, el que vamos a construir hoy, concretamente nos sirve para una latitud 40° norte.

Construcción del astrolabio

Para construir tu propio astrolabio sólo necesitarás tijeras, pegamento, un punzón, hilo y las hojas con el recortable que puedes descargar aquí:

Astrolabio

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¡Aviso antes de imprimir!

  • La hoja con fondo de pergamino tendrá que ir impresa en cartulina.
  • La hoja con la red o araña deberá imprimirse en transparencia. De esta hoja sólo necesitaremos una Red o Araña, aunque en el documento vengan dos.

Lo primero que vamos a hacer va a ser recortar las distintas piezas. De la transparencia cortaremos sólo una Red o Araña, recortando el círculo más grande. En la cartulina recortaremos seis piezas distintas:

  • dos círculos con una solapa (partes trasera y frontal de la Madre).
  • las cuatro piezas similares restantes (Regla, Alidada y ambos refuerzos).

Para reforzar la cartulina hemos hecho todas las piezas dobles en vez de imprimir a doble cara, así como refuerzos para la Alidada y la Regla. Ya con las piezas recortadas vamos a pegar todos los refuerzos. Así, pegamos la pieza trasera de la Madre a la pieza delantera de la Madre dejando las impresiones hacia afuera, y las piezas de refuerzo por detrás de la Alidada y de la Regla.

Vamos a utilizar el punzón para hacer agujeros en el centro de la Madre, la Regla y la Alidada, así como en el centro de la Red o Araña.

 

En la Alidada doblamos por la línea de puntos de forma que las solapas formen 90º con el astrolabio.

Una vez hechos los agujeros, vamos a introducir las piezas en el encuadernador, respetando el siguiente orden:

  1. Regla.
  2. Red o Araña, con cuidado de que los textos queden legibles.
  3. La Madre, dejando hacia abajo la parte trasera, es decir, la que lleva el logo de Divermates hacia abajo.
  4. Alidada.

Una vez introducidas todas las piezas, antes de cerrar el encuadernador, conviene girar todas las piezas para que se fuercen los agujeros. Para mejorar el acabado se pueden recortar las patas del encuadernador y pegar encima un círculo pequeño de los que aparecen en la cartulina original.

Para terminar vamos a realizar un último agujero en la solapa que sobresale del círculo de la Madre. Tenemos que hacer el agujero en cualquier punto sobre la linea vertical que hay en la parte trasera. A través de este agujero dejamos pasar un hilo para sostener el astrolabio y que actúe a modo de plomada.

¡Ya tienes listo tu astrolabio!

¿Cómo funciona?

El mecanismo de estos aparatos aunque pueda parecer complejo es bastante sencillo. Consiste, digamos, en un sistema de tres ecuaciones: colocación de los astros, hora y fecha. Teniendo dos de estas incógnitas sabremos sin problema calcular la tercera.

Sin embargo, como tiene distintas utilidades y es bastante más lioso explicarlo por escrito queremos dejaros un video. ¡¡Dale al play y descubre los grandes secretos del astrolabio!!

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Curiosidades, 10 comentarios
Cuboctaedro mutante fosforescente

Cuboctaedro mutante fosforescente

Hoy queremos hablaros del cuboctaedro. Este poliedro arquimediano se obtiene al truncar cada vértice de un cubo, de forma que obtenemos un poliedro de seis caras cuadradas y ocho caras triangulares. Además, queremos dedicarle esta entrada a nuestro amigo Fernando Blasco, que admira este poliedro.

Hace tiempo, en la tienda Tiger podías encontrar un juguete como el que se ve en la imagen. En realidad, es un cuboctaedro que puede deformarse creando distintas figuras, cada cual más curiosa. Desde Divermates queremos enseñaros cómo podéis crearos un cuboctaedro casero, similar al de Tiger, pero con materiales más al alcance de todos. Además, ¡los vértices de nuestro cuboctaedro brillan en la oscuridad!

Este cuboctaedro lo hicimos el verano pasado en nuestro Campamento de Divermates y fue todo un éxito. ¡Es fácil, divertido y, desde luego, engancha!

Para construirlo necesitarás los siguientes materiales:

  • 24 palos redondos de madera. Pueden ser de pincho moruno cortando la punta, o comprados directamente con la punta ya cortada.
  • Aproximadamente 75 centímetros de tubo de silicona fosforescente. Estos tubos los usan los pescadores y los podrás encontrar en la sección de pesca de cualquier tienda. Necesitaremos 24 trocitos de unos 3 centímetros de longitud.
  • 12 bridas, a ser posible blancas.

Preparación de las uniones

Lo primero que vamos a hacer es construir nuestras uniones, es decir, los vértices del cuboctaedro. Para cada vértice necesitamos dos trozos de tubo, de unos 3 centímetros cada uno, y una brida. Comenzamos cerrando un poco la brida, dejando un espacio para luego introducir los tubos. Es más fácil cerrarla poniendo el dedo “como tope” para que no se nos cierre del todo.

A continuación vamos a meter los dos tubitos en el hueco que queda dentro de la brida. Una vez alineados, dejando la brida en el medio del tubo, apretamos la brida todo lo que podamos.

Para terminar la unión, cortamos la brida sobrante.

¡Recuerda, necesitaremos 12 uniones en total!

Veamos ahora cómo unimos las uniones a los palos de madera. Lógicamente, lo único que tendremos que hacer es introducir el palo dentro del tubo. Pero cuidado, algunos palos entran demasiado justos y no es conveniente hacerlos entrar girándolos pues, al girarlos, podemos rajar el tubo. Lo mejor es meterlos por presión, con cuidado y paciencia.

Ya tienes todo listo para formar el cuboctaedro. No obstante, te daremos unas indicaciones que te facilitarán la construcción.

Construimos nuestro cuboctaedro

Un detalle que tenemos que tener en cuenta para construir y entender un cuboctaedro es que los triángulos siempre colindan con cuadrados, y los cuadrados con triángulos. Es decir, nunca habrá dos cuadrados con una arista en común, y lo mismo con los triángulos.

Para empezar vamos a formar un cuadrado. Aunque es indiferente qué palitos meter por cada tubo, a nosotros nos gusta el orden y la simetría. Por ello los cuadrados los cerramos metiendo los palos en tubos distintos, y los triángulos cerrando con el mismo tubo. Como podéis observar en la imagen, las aristas del cuadrado entran, cada una, en un tubo distinto de cada vértice.

A continuacion vamos a meter un palo en cada tubo.

Como hemos dicho que en el cuboctaedro los cuadrados colindan con un triángulo en cada una de sus aristas, vamos a cerrar los palos que hemos metido, dos a dos, formando triángulos en cada lado del cuadrado. Para continuar con la pauta de los vértices, estas uniones se realizarán metiendo los dos palos en un mismo tubo de cada vértice, como se ve en la imagen.

Puedes ver en la siguiente imagen a qué nos referiamos con que cerramos los triángulos con un mismo tubo en cada vértice.

En el siguiente paso vamos a hacer otros cuatro cuadrados. Cada uno de estos cuadrados irá aprovechando las aristas de dos triángulos. Como ya empezamos a darle tridimensionalidad, los cuadrados quedarán deformados, pero no te preocupes, vamos a continuar hasta cerrar el poliedro completo.

Para terminar de cerrar el cuboctaedro tendrás que seguir las indicaciones que hemos venido dando hasta ahora, pues no es fácil de representar con fotos. Ya solo quedaría cerrar los triángulos colindantes a los últimos cuadrados.

Y con esto, ¡ya tenemos nuestro cuboctaedro!

Variaciones del cuboctaedro

Recuerda que si lo dejas absorviendo luz, los vértices brillarán en la oscuridad, dándole un aspecto muy chulo. Además, como ya dijimos, esta construcción permite moverlo al gusto, así que podrás formar muchas otras formas. ¿Eres capaz de formar un octaedro? Te dejamos dos de nuestras imágenes favoritas, pero seguro que encuentras muchas otras diferentes.

Además, como podrás observar, este mecanismo no sólo sirve para hacer cuboctaedros. Puedes dejar volar tu imaginación y crear un sinfín de poliedros y figuras diferentes.

GIF

 No dudes en enviarnos todas tus creaciones, estamos ansiosos por descubrir nuevas formas y figuras.

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Un triángulo de Sierpinski con papel

Un triángulo de Sierpinski con papel

Hoy queremos dedicar nuestra entrada a los fractales. Ya os hemos hablado en otros momentos de estas formas tan interesantes, cuya construcción se basa únicamente en repetir una y otra vez un mismo procedimiento. Esta idea la contamos con ejemplos muy visuales en nuestro taller de fractales, dedicado a alumnos de primero de primaria. Les mostramos algunos fractales que aparecen en la naturaleza y otros fractales descubiertos por distintos matemáticos, como el conjunto de Mandelbrot o el triángulo de Sierpinski. Al terminar el taller, construimos un triángulo de Sierpinski enorme con latas de refresco. Así que, para enteder qué es eso del triángulo de Sierpiski, vamos a enseñaros cómo construir uno muy sencillo con kirigami.


Un triángulo de Sierpinski es un fractal que puede construirse a partir de cualquier triángulo. Simplemente con cada iteración vamos a ir quitando a cada triángulo su triángulo central. Vamos a ver las primeras iteraciones:

Para construir nuestro triángulo de Sierpisnki de papel, sólo necesitarás dos folios, preferiblemente uno blanco y uno a color, tijeras y pegamento. Si quieres, para empezar, puedes seguir nuestro patrón, que te ayudará a seguir los pasos más fácilmente. Para un mejor resultado te animamos a imprimir a color el patrón que puedes descargar aquí:

Triángulo de Sierpinski – Divermates

Primera iteración

Lo primero que vamos a hacer es doblar el folio por la mitad, por la altura del triángulo, dejando las marcas hacia fuera.

Con el folio doblado y en horizontal, tenemos que ver las marcas como una escalera que sube de izquierda a derecha, es decir, a la izquierda la línea más corta y a la derecha las más largas. En esta posición, recortamos la línea central.

A continuación doblamos hacia arriba el rectángulo que queda a la derecha del corte, como muestra la imagen.

Este doblez es, en realidad, un doblez de referencia. Con esta marca, vamos a meter ese rectángulo hacia dentro.

Mirando desde el canto tiene que quedar como una W, un doblado en zig-zag.

Con esto, ¡ya tenemos la primera iteración!

Segunda iteración

Como estamos construyendo un fractal, con cada nueva iteración vamos a repetir lo que ya hemos hecho en la primera. Sin embargo, con cada iteración las repeticiones aumentan, es decir, vamos a tener que hacer los mismos pasos pero cada vez más veces. Sólo tenemos que ver que nuestro folio ahora ha quedado dividido en cuatro rectángulos (uno de ellos doblado hacia dentro). En la posición horizontal de partida, tenemos que fijarnos en los dos nuevos rectángulos, más pequeños que el inicial: el de arriba a la derecha y el de abajo a la izquierda. Repetimos todos los pasos en cada uno de estos dos rectángulos. Hay que tener en cuenta que cuanto más avanzamos, más capas tenemos. Así, habrá que cortar más capas y realizar más doblados.

Cortamos la línea central de cada uno de los dos rectángulos. Como hemos dicho, en el rectángulo de arriba esta vez cortaremos dos capas.

Hacemos los dobleces de referencia. Cuando tenemos doble capa, para un mejor acabado, es mejor doblar una hacia alante y otra hacia atrás.

Y doblamos hacia dentro, dejando la forma de zig zag. Como en el rectángulo de arriba tenemos las dos capas, tendremos que hacer más doblados.

Así queda tras la segunda iteración completa.

Siguientes iteraciones

Hemos visto que en la segunda iteración teníamos que repetir los pasos en dos nuevos rectángulos. Con cada iteración los rectángulos se duplican. ¿Cuántas veces tendremos que repetir entonces los pasos en esta tercera iteración? Efectivamente, ahora tenemos cuatro rectángulos más pequeños, donde tenemos que repetir todo el proceso.

Y así queda tras terminar la tercera iteración.

Con el patrón ya no quedan más marcas para seguir. No obstante, ahora que ya te hemos enseñado los pasos de cada iteración, desde Divermates te animamos a continuar, al menos, una más.

Para terminar y que quede más bonito todavía, vamos a pegar nuestro triángulo de Sierpinski en un folio en blanco. Dobla el folio en blanco por la mitad. A continuación echa pegamento sobre la parte trasera del triángulo de Sierpinski, esto es, donde aún pueden verse trozos de marcas, y pégalo sobre el folio doblado en blanco. Lo más sencillo es echar primero pegamento a una mitad, y cuando esté pegada, echárselo a la otra mitad.

También puedes hacerte un cuadernillo con las primeras iteraciones como el que te mostramos en el siguiente vídeo, realizado en el colegio Ruta de la Plata de Almendralejo:

¡Esperamos que lo disfrutéis!

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Calendario Lunar

Calendario Lunar

Remontándonos al siglo V a.C. y con vistas a hablar de las fases de la luna, nos gustaría hablaros de Metón de Atenas. Este astrónomo griego descubrió que 19 años solares del calendario equivalían a 235 meses lunares. Esto quiere decir que, después de 19 años, la luna volvía a pasar por las mismas fases en las mismas fechas. No obstante Metón estimó un error de 5 minutos por año, por lo que en algunos casos la luna llena puede no coincidir exactamente en el mismo día. Aunque fue Metón quien puso nombre a estos ciclos, hay escritos que indican que eran ya utilizados en Mesopotamia desde el siglo VI a.C. para predecir eclipses.

Y hablando de eclipses, ¿recordáis el eclipse de sol que tuvo lugar el pasado mes de Agosto? Seguro que fue un efecto mágico para todos aquellos que pudieron verlo en vivo y en directo. Lástima que desde España tuviéramos que conformarnos con verlo a través de las redes. Aún así, nosotros no nos lo perdimos, ¿y vosotros?

Un eclipse solar se da cuando la luna se interpone exactamente entre el sol y la tierra. Obviamente, este fenómeno sólo puede darse durante la luna nueva. Como todos sabemos, según la posición de la luna y el sol, puede verse luna llena, menguante,  creciente o nueva. Es por ello que, desde Divermates, queremos enseñaros cómo construir un calendario lunar que nos dirá qué luna habrá cada noche desde hoy hasta el año 2037.

¿Cómo se construye el calendario?

Lo primero que tienes que hacer es conseguir un rotulador negro, tijeras y pegamento, e, importante, una bola de poliespán o corcho blanco de unos 3 cm de diámetro, además de la hoja con el calendario que puedes descargar aquí:

Calendario Lunar – Divermates

Para facilitar la construcción es recomendable tener también un cúter, cinta de doble cara y un palillo de pincho moruno.

El calendario se compone de dos piezas, un círculo y un sobre. Lo primero que tendremos que hacer es recortar ambas piezas. ¡Atención!, el círculo con una cruz en el centro de la parte negra del sobre también hay que recortarlo.

La pieza circular la dejamos como está. El sobre tendremos que montarlo doblando por la mitad y echando pegamento en las solapas. Una vez montado el sobre, meteremos el círculo dentro.

Dejamos nuestro sobre a un lado y comenzamos a preparar la luna. Lo que vamos a hacer es pintar la mitad de la bola de color negro. Para ello recomendamos pinchar la luna en un pincho moruno y, aprovechando la línea perimetral que puede percibirse en la bola, colorear media bola.

Una vez hemos coloreado la mitad de la bola, recomendamos hacer un corte en la base. De esta forma cuando la vayamos a pegar en el calendario, lo haremos sobre una superficie plana.

Para unir la luna al calendario lo mejor es usar cinta de doble cara. La luna tenemos que pegarla en el circulito central de la pieza circular. Hay que hacerlo con cuidado, peg, pero, importante, hay que pegarla teniendo la pieza circular metida en el sobre. De esta manera la pieza quedará encajada y no podrá separarse del sobre. Si nos fijamos en el circulito central tiene medio círculo blanco y medio círculo negro. Es importante que peguemos la luna haciendo coincidir la parte coloreada con el semicírculo negro y la parte blanca con el semicírculo blanco. Una vez pegada, es aconsejable que comprobemos si al girar el disco gira también la luna.

¡Ya tenemos nuestro calendario lunar!

¿Cómo funciona?

Ya en el propio calendario por la parte de abajo vienen las instrucciones de uso. Para comprobar que tengamos el calendario bien hecho y que se entienden las instrucciones vamos a ver un ejemplo.

Como hemos empezado hablando del eclipse solar que tuvo lugar el 21 de agosto y ya hemos dicho que para que haya eclipse solar la luna ha de ser nueva, vamos a comprobar que el calendario nos da esta información correctamente.

“Lo primero que tienes que hacer es girar el disco donde están situados los años, hasta que coincida el año con el mes que quieres observar”, es decir, vamos a girar hasta hacer coincidir agosto y 2017.

“Una vez colocado correctamente, has de buscar el día del mes que quieres mirar y situar la cartulina horizontal a la altura de los ojos con el día apuntando hacia ti. Guiñando un ojo podrás observar en qué fase estará la Luna el día seleccionado”. En nuestro caso buscamos el día 21, y miramos desde tal día hacia la luna. Podremos observar que, efectivamente, está complemente negra, es decir, la luna, el 21 de agosto de 2017 es luna nueva.

Veamos, para terminar, un ejemplo con un año bisiesto. La siguiente imagen mostraría la luna el 3 de febrero de 2020. Primero hemos hecho coincidir febrero y 2020. Como el 2020 esta recuadrado por ser bisiesto, hemos de hacerlo coincidir con el febrero recuadrado. Y por último, miramos hacia la luna desde el día 3.

Esperamos que os haya gustado este calendario, y, en caso de ser fanáticos de la astronomía, le deis uso, para, por ejemplo, planear vuestras salidas con el telescopio.

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Un rompecabezas topológico de Fibonacci

Un rompecabezas topológico de Fibonacci


Ya estamos de vuelta de las vacaciones, y en este mes de vuelta a clase nos gustaría retomar el curso con un rompecabezas topológico casero.

La topología puede parecer una parte algo compleja de las matemáticas cuando no has estudiado matemáticas a fondo. Nosotros en Divermates tenemos un taller dedicado exclusivamente a esta rama de las matemáticas, para niños de segundo de primaria. A priori puede parecer una locura tratar de hacer entender mínimamente a un alumno de 7 años lo que es  la topología, pero nosotros asumimos el reto, y, a día de hoy, podemos presumir de conseguirlo.

Formalmente la topología estudia las propiedades de las figuras que permanecen invariantes al ser sometidas a ciertas transformaciones, de forma que no aparezcan nuevos puntos o nuevos «agujeros». Es la geometría donde solo nos interesamos por la forma, sin atender a la medida.

En nuestro taller hablamos de la cinta de Möbius, cuya particularidad es tener un único un borde y una única cara. Al principio a los alumnos les parece una locura. Pero después de hacer distintos juegos y actividades entienden perfectamente este concepto.

Pero no es la banda de Möbius lo más interesante de la topología. Hay muchos problemas que han tratado grandes matemáticos a lo largo de la historia. Tenemos los puentes de Konigsberg, famosos problemas de nudos, el teorema de los cuatro colores, la botella de Klein, grafos… Os animamos a profundizar sobre estos juegos, modelos y problemas.

Sin embargo, la topología más al alcance de todos es quizá la que esconden los juegos topológicos de madera o metal. Seguramente alguna vez has visto alguno de estos juegos, donde aparecen elementos unidos por cuerdas que a simple vista parecen imposible de separar. Estos juegos topológicos ayudan a desarrollar la visión espacial, despertar la curiosidad y potenciar la paciencia y resolución de problemas con ingenio.

Os mostramos a continuación algunos de una colección muy especial:

¿Te gustaría construirte tu propio rompecabezas de papel?

Se cuenta que Chandlahuri, un sirviente indio de Fibonacci, regaló un rompecabezas como este al matemático pisano. Este rompecabezas fue llamado por Fibonacci como «lo joco enimmatico del brachiale torquato«, es decir, «el juego enigmático del brazalete retorcido».

¿Te has fijado en el diseño del rompecabezas? En honor al gran Fibonacci hemos querido dejar plasmada la sucesión que lleva su nombre en el brazalete: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55… Esta sucesión tiene muchas propiedades matemáticas, como, por ejemplo, la construcción de la espiral áurea que también podrás observar en el rectángulo.

Para construirtelo sólo necesitarás, tijeras, pegamento, un cordón de unos 25-30 cm. y el recortable que puedes descargar aquí:

Rompecabezas Topológico – Divermates

Como vamos a hacer un juego que vamos a manipular mucho con las manos te recomendamos construirlo con cartulina.

Lo primero que hay que hacer, como siempre, es recortar todas las piezas. Nuestro juego consta de un cuadrado, un rectángulo áureo y dos tiras onduladas. Observa que el cuadrado tiene un agujero en el centro, y que ambas piezas cuadriláteras tienen una cruz por donde deberá pasar la cuerda.

A continuación pegamos las dos tiras, poniendo pegamento solamente en las solapillas. Fijaos bien en dejar las tiras bien entrelazadas una con la otra, pero solo pegadas por los extremos.

Una vez tenemos nuestra pieza principal, la unimos a los cuadriláteros de la siguiente manera:

  • Primero anudamos la cuerda y la pasamos por la cruz del rectángulo.

  • A continuación hacemos pasar la cuerda por el agujero del centro del cuadrado.

  • Llevamos la cuerda por los dos huecos extremos de nuestro brazalete.

  • Y para terminar, la pasamos por la cruz del cuadrado para terminar haciendo un nudo.

¡Ya tienes tu rompecabezas topológico listo!

Ahora solo te queda aprender a deshacerlo, sin despegar las piezas, claro. ¿Eres capaz de separarlas estudiando únicamente los enredos de la cuerda y los agujeros de las piezas?

Pista:

los agujeros en este juego, como en casi todos los de este tipo, son clave.

¡Ánimo con ello! Tanto si lo consigues, como si tienes dudas, no dudes en dejarnos un comentario.

BIBLIOGRAFIA

Sarcone, G.A. (1997-2017). Torquato Puzzle: Archimedes Laboratory Project. Recuperado de aquí.

 

 

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Calendario 2017 – Flexágono y prisma hexagonal

Calendario 2017 – Flexágono y prisma hexagonal

¡Ya está aquí el calendario-bote de lápices con forma de prisma hexagonal que os prometimos! Combinando de nuevo la construcción de un flexágono, esta vez con un prisma, podréis haceros vuestro propio bote de lápices con los meses de este año nuevo que llega.

Además, hemos incluido los nacimientos de algunos personajes de gran importancia para la historia de las matemáticas, muchos de los cuales son relevantes en nuestros talleres de Divermates. Con esto podréis saber si compartís día de nacimiento con alguno de ellos (mes seguro que sí).

Si ya hiciste el árbol navideño que cambia de color, no tendrás ningún problema para realizar ahora nuestro calendario-bote de lápices.

¿Cómo se construye?

De nuevo, lo único que necesitarás para construir tu calendario es pegamento, tijeras, y la hoja del recortable que puedes descargar aquí:

Calendario 2017 – Divermates

Esta vez las dos piezas que componen nuestro calendario se imprimirán cada una en una hoja. Es decir, no habrá que imprimir nada a doble cara, como hicimos con el árbol.

Preparación de las dos piezas

Recortamos cada pieza por el borde exterior. Cuidado, esta vez hay alguna complicación:

  • Siguiendo el borde exterior encontrarás algunas zonas con un reborde blanco. Por ahí habrá que recortar para separar dos zonas coloreadas de nuestra figura. Al hacer esto alrededor del mes de Enero nos comemos un trozo del hexágono, pero no te preocupes, no interfiere en el desarrollo de nuestro calendario.

  • También habrá que recortar los cuatro círculos que encontrarás dentro de cuatro de los hexágonos.

Como esta vez no hemos impreso a doble cara para evitar desvíos de impresión, antes de meternos con los dobleces propios de cada pieza, vamos a prepararla de forma que quede lista por ambas caras. Para ello habrá que doblar y pegar los meses enero-febrero-marzo sobre julio-agosto-septiembre. Seguidamente repetimos el proceso con los matemáticos Gauss-Agnesi-Turing sobre Galois-Mandelbrot-Kepler y Euler-Puig Adam-Pascal sobre Martin Gardner-Moebius-Ramanujan.

Después de estos pasos tenemos listas nuestras dos piezas.

Ya con nuestras piezas preparadas, vamos a comenzar con el doblado. Por una parte doblaremos los ocho hexágonos y las dos solapillas que encontrarás en dos de ellos. Por otro lado habrá que doblar también las líneas verticales que separan cada mes, incluidas las que están en las solapas a doble cara.

Una vez realizados todos los dobleces, cada una de las dos piezas quedará como se muestra a continuación:

Unión de las dos piezas

En esta construcción la unión de las piezas es mucho más sencilla. En plano, introduce las solapas hasta hacer encajar cada mes con sus respectivos nacimientos de matemáticos. Ten en cuenta que el patrón de colores queda como un «tablero de ajedrez».

Una vez encajadas las dos piezas, nos quedan tres solapillas, dos a un lado y una al otro. Sólo habrá que echar pegamento y pegarla por detrás para que quede una única pieza plana.

Cuidado al pegarlas. Las tiras de los cumpleaños deberán quedar bien alineadas por encima y por debajo de la tira de los meses.

El siguiente paso será pegar los hexágonos. Primero pegaremos el hexágono situado sobre Leibniz encima del hexágono situado sobre Riemann. Este paso podrá hacerse con más precisión si nos fijamos en dejar bien alineados los círculos que recortamos al principio.

Repetimos el mismo procedimiento con los dos hexágonos inferiores de esa mitad del prisma, los que coinciden con Cardano y Buckmister Fuller, dejando la parte gris visible.

Pegamos ahora los hexágonos de la otra mitad del prisma, dos a dos.

Las dos solapillas en las aristas de los hexágonos servirán para cerrar el calendario en la posición deseada.

¡Ya tenemos terminado nuestro calendario!

¿Conoces a todos los personajes que aparecen en el calendario?

Esperamos que no, y de esa forma te hayamos regalado estas fiestas algo nuevo que aprender.

Te deseamos que el 2017 esté lleno de nuevos descubrimientos.

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¡Feliz año 2017! – Flexágonos y cuerpos geométricos

¡Feliz año 2017! – Flexágonos y cuerpos geométricos

En estas fechas, como cada año, queremos dejaros una felicitación para el año nuevo al estilo de Divermates. Partiendo de la idea de combinar flexágonos con cuerpos geométricos hemos conseguido dos construcciones que se basan en este mismo concepto. La primera de ellas es un árbol navideño que cambia de color.

Aunque estas construcciones son algo más difíciles que las de años anteriores merece mucho la pena intentarlo. El resultado serán dos figuras que asombrarán a todos tus amigos.

Como hemos dicho, vamos a empezar con la más fácil y propia de estas fiestas, el árbol de Navidad.

¿Cómo se construye?

Para construir este árbol solo necesitarás pegamento, tijeras, y la hoja del recortable que puedes descargar aquí:

Árbol cambio color – Divermates

Es importante imprimir el documento a dos caras (girando sobre uno de los lados cortos), de forma que al mirar a trasluz quede una imagen como la que se muestra a continuación:

Preparación de los semiconos

El modelo se compone sólo de dos piezas que deberán recortarse por el borde exterior:

Una vez que tenemos las dos piezas, lo primero que habrá que hacer es doblar las dos solapas que sobresalen en cada una de las piezas, y los trapecios numerados al final de cada una. Serán ocho dobleces en total: cuatro doblando las zonas blancas numeradas y otros cuatro doblando los sectores circulares nevados.

Es importante hacer estos dobleces en ambas direcciones. Primero hacia un lado y luego hacia el otro.

A continuación, dobla los lados largos del triángulo blanco central. También hay que doblar el trapecio que queda bajo el triángulo en una de las dos piezas.

Después de haber realizado todos los dobleces, cada una de las dos piezas quedarán como se muestra a continuación:

Para que el árbol adopte la forma cónica, podemos curvar la parte correspondiente, la que tiene forma de sector circular en colores verde y nevado, usando para ello un lápiz.

Vamos a proceder a cerrar los dos semiconos, echando pegamento en la solapa alargada.

¡Ojo! Cuidado al pegarlo. Las líneas del semicono deberán quedar bien alineadas con las solapas.

Una vez llegados a este punto, las dos piezas estarán listas para ser unidas.

Unión de los semiconos

Para unir ambas piezas vamos a colocar primero las solapas en su posición correcta. Para ello, hay que doblarlas sobre su propio semicono, quedando como muestra la imagen.

Comenzamos pegando la solapa número 1. Primero echamos pegamento sobre el triángulo 1 para, a continuación, pegar la solapa 1 sobre ese triángulo 1, cuidando que quede bien alineado.

Repetimos el proceso con la solapa número 2. Recuerda que las solapas de cada semicono deben rodear la parte redondeada de su semicono y llegar al otro a través del espacio entre ambos.

Después de repetir lo mismo con las cuatro solapas obtenemos una figura como la que se muestra a continuación.

El trapecio en blanco que queda sobrante bajo uno de los semiconos sirve para sujetar ambas mitades al colocar el árbol en cada uno de los colores.

¡Ya tenemos terminado nuestro árbol!

Una vez terminado, aconsejamos moldear el árbol por el lado blanco, y dejarlo unas horas por ese lado para que se adapte.

estad atentos al blog…

Próximamente os contaremos cómo hacer la otra figura que hemos creado para vosotros: un calendario-bote de lápices con forma de prisma hexagonal.

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El juego de las marcas

El juego de las marcas

Hoy os hemos preparado un juego de magia que enseñamos en nuestra conferencia de Matemagia. El juego de las marcas es un juego muy sencillo con el que podrás asombrar a tus amigos.

el-juego-de-las-marcas-6-tarjetas

Lo primero que debes hacer es prepararte las 6 tarjetas que necesitas. Para ello, primero tendrás que imprimir las tarjetas, que puedes decargar aquí:

El juego de las marcas – Divermates

Te recomendamos que las imprimas en cartulinas. La preparación de las tarjetas es fácil, sólo tienes que recortar todos los cuadraditos grises con la X en su interior, de forma que, al final, tendrás un paquete formado por 5 tarjetas perforadas y una completa (como puede verse en la imagen superior).

Para llevar a cabo el juego, el mago pedirá al espectador que elija una de las marcas que aparecen en la tarjeta completa. Es importante que el espectador sólo piense la marca, y no la diga en ningún momento.

Después el mago mostrará las 5 tarjetas restantes para que el espectador responda si su marca está en cada una de ellas. Sólo con estos pasos el mago será capaz de adivinar la marca pensada por el espectador.

¿Cómo conseguirá el mago saber la marca elegida?

El desarrollo de este juego es muy fácil. A medida que enseñas las 5 tarjetas perforadas tendrás que ir colocándolas estratégicamente. Es indiferente el orden en que enseñas las tarjetas.

  • Si la respuesta de tu espectador es que SI está la marca en la tarjeta, deberás dejarla boca abajo cara contra cara sobre la tarjeta completa, de forma que el texto central quede BOCA ABAJO.

Por ejemplo, vamos a fijarnos en la marca LEGO. Como en la primera tarjeta si está, la pondremos boca abajo.  Esto hará que nuestra marca siga viéndose en la tarjeta completa.

el-juego-de-las-marcas-tarjeta-si-1 el-juego-de-las-marcas-tarjeta-si-2

  • Si la respuesta es NO, deberás dejarla boca abajo cara contra cara sobre la tarjeta completa, de forma que el texto central quede BOCA ARRIBA.

¡Cuidado! Haz que tu espectador esté completamente seguro de que la marca pensada no está en la tarjeta, pues las marcas están cambiadas de sitio de una tarjeta a otra.

En esta segunda tarjeta, nuestra marca LEGO no está, así que esta vez la pondremos boca arriba. Igual que antes, al dar la respuesta correcta, nuestra marca seguirá viéndose en la tarjeta completa.

el-juego-de-las-marcas-tarjeta-no-1el-juego-de-las-marcas-tarjeta-no-2

Una vez realizada esta operación con las 5 tarjetas, cada una sobre la anterior, quedará una única marca visible.

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¡Esta es la marca que ha elegido tu espectador!

 

Origen del juego de las marcas

Este truco es una aplicación de un juego muy antiguo en el que el mago debía adivinar un número que el espectador había pensado, es un juego basado en el sistema de numeración binario. Puedes encontrar más información sobre el origen de este juego y las matemáticas que esconde en los siguientes libros:

Blasco, F, (2007), Matemagia, Madrid, Temas de hoy.

Gardner, M, (2011), Matemáticas, magia y misterio, Barcelona, RBA Libros.

 ¡Esperamos que os gusten!

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Matemagia, 1 comentario
Regla de cálculo, un viaje al pasado

Regla de cálculo, un viaje al pasado

La regla de cálculo es un instrumento que nos sirve para realizar operaciones matemáticas, como pueden ser multiplicaciones o divisiones, e incluso porcentajes, cálculos de proporcionalidad o raíces cuadradas.

ejemplos_de_regla_de_calculo

Fue sustituida inevitablemente por las calculadoras, pero durante más de 400 años fue instrumento imprescindible para todo científico o ingeniero. Por poner un ejemplo, muchos de los cálculos llevados a cabo durante las misiones Apolo, que llevaron al hombre a la luna, fueron realizados con reglas de cálculo. Hay que decir que por entonces la informática aún estaba dando sus primero pasos.

Hoy desde Divermates queremos dejaros un modelo para que os fabriquéis vuestra propia regla de cálculo. Para construirla solo necesitas pegamento, tijeras, e imprimir, a ser posible en cartulina, la plantilla que puedes descargar aquí:

Regla de cálculo – Divermates.

regla-de-cálculo--materiales

A continuación te detallamos las instrucciones para su montaje, que es muy sencillo:

Para empezar, recorta por todas las líneas continuas, separando la cartulina en las 7 piezas que vamos a necesitar. Estas piezas se pegarán en 3 capas:

  • Una capa inferior fija y única.
  • Otra capa intermedia que tiene 3 partes.
  • Una capa superior donde aparecen impresas las reglas propiamente dichas.

Es muy importante cortar las piezas de la forma más precisa posible, pues su buen deslizamiento dependerá de estos cortes. Aconsejamos hacer estos cortes con cutter y regla metálica.

regla-de-cálculo--piezas-cortadas

Primero pegamos una de las piezas más pequeñas de la capa intermedia sobre la cara no impresa de la base.

regla-de-cálculo--pegando-primera-pieza

Ahora pegamos la otra pieza pequeña de la capa intermedia. Para garantizar que la pieza central se podrá mover con libertad pero sin holgura, debemos usarla como referencia. Para ello colocamos en su posición dicha pieza (de color gris) pero sin pegarla. Una vez fijada la pieza pequeña, conviene deslizar la pieza gris a izquierda y derecha para comprobar que se desplaza.

regla-de-cálculo--pegando-segunda-pieza

regla-de-cálculo--comprobar-movimiento-de-la-pieza-gris

Debemos pegar ahora la parte inferior de la capa superior. Aplicaremos el pegamento en la pieza intermedia ya pegada a la base, de forma que la nueva pieza que colocamos quede limpia de pegamento en la parte sobrante, ya que nos servirá para construir el carril sobre el que se deslizará la pieza central. Para facilitar este paso puedes extraer la pieza gris por el momento.

regla-de-cálculo--pegando-regla-d

Ahora con la pieza gris de nuevo en su espacio pegamos la pieza de las reglas B-L-C sobre ella. Echamos el pegamento sobre la pieza de la regla, de forma que no quede pegamento sobrante sobre la pieza gris. Debemos intentar alinearla bien contra la regla D que ya tenemos pegada.

regla-de-cálculo--pegando-regla-b-l-cQueda la última pieza, la de las reglas K-A, que pegaremos sobre la pieza superior de la capa intermedia. De nuevo es importante que no caiga pegamento en la parte que permanece visible de la pieza gris. Para ello puede ser más sencillo si deslizamos esta pieza fuera para aplicar el pegamento. Además es importante alinear al 1 las reglas D y B-L-C, y también la nueva pieza de las reglas K-A cuando se fija en su lugar.

regla-de-cálculo--poniendo-pegamento-para-regla-k-a

regla-de-cálculo--pegando-alineada-la-regla-k-a

Después de presionar la pieza K-A para que se fije con el pegamento, hay que deslizar la pieza central a izquierda y derecha suavemente para que no se pegue con algún resto de pegamento y deslice suavemente.

regla-de-cálculo--comprobar-que-desliza-derecha

regla-de-cálculo--comprobar-que-desliza-izquierda

Y con esto tenemos lista nuestra regla de cálculo. Por ahora no hemos diseñado un cursor, dejamos esto a tu creatividad. En cualquier caso se puede utilizar cualquier regla para esta función.


¿Cómo funciona la regla de cálculo?

Comenzamos con multiplicaciones (usamos las letras C y D):

  • 2×3     Alineamos el 2 del D con el 1 del C, y nos fijamos con qué cifra del D coincide el 3 del C:          2×3=6

regla-de-cálculo--multiplicaciones-1

  • 2×8     Al alinear el 2 del D con el 1 del C, el 8 del C queda fuera de la regla. Cuando nos ocurre esto, tenemos que alinear el 2 del D, no con el 1 de C, sino con el 10 del C, para fijarnos de nuevo con qué cifra del D coincide el 8 del C:           2×8=16

regla-de-cálculo--multiplicaciones-2

Cuando tenemos distintos dígitos, o incluso decimales, hemos de saber la magnitud del resultado. La regla de cálculo nunca nos dice dónde iría la coma.

Vemos dos ejemplos, 11×25=275 y 1,1×2,5=2,75. Ambos se realizarían de igual manera, por lo que tenemos que saber la magnitud del resultado.

regla-de-cálculo--multiplicaciones-3

Para realizar divisiones se realizaría de forma inversa.

Por ejemplo, para hacer 6/3, tendríamos que hacer coincidir el 6 del D, con el 3 del C, para luego fijarnos con qué cifra del D coincide el 1 del C:           6/3=2

Vamos a ver cómo hacer cuadrados o raíces cuadradas (usamos las letras A y D, con la regla en posición inicial):

  • La letra A nos muestra el cuadrado del número que visualicemos en la letra D:           32=9
  • Así mismo, la letra D nos muestra la raíz cuadrada del número que visualicemos en la letra A.

regla-de-cálculo--raices-y-cuadrados-2

Intentamos ahora multiplicaciones dónde un multiplicando es un cuadrado (usamos las letras A, B y D):

  • 22x5    Alineamos el 2 del D con el 1 del B, y nos fijamos con qué cifra del A coincide el 5 del B:          22x5=20

regla-de-cálculo--multiplicando-cuadrado

Por último, veamos cómo hacer logaritmos en base 10 (usamos las letras L y D, con la regla en posición inicial):

  • La letra L nos muestra el logaritmo en base 10 del número que visualicemos en la letra D:           ln2=0.3

regla-de-cálculo--logaritmos

* Ojo! La escala de esta regla con la letra L es decimal, empieza en el 0.0 y acaba en el 1.0, pasando por 0.1, 0.2,… (pensad, que el logaritmo de 10 es 1).

Para más información, o instrucciones sobre otras operaciones, recomendamos visitar el siguiente vídeo. Es muy antiguo pero eso le da una autenticidad muy apropiada para esta herramienta.


 

 

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