Construcciones

Felicitación 2016 – Árbol de Navidad con paradoja de Deland

Felicitación 2016 – Árbol de Navidad con paradoja de Deland

Este año queremos enviaros nuestros mejores deseos para 2016 con un pequeño árbol de Navidad que sirve para realizar la conocida paradoja de Deland. Puedes encontrar información sobre esta paradoja en el libro «Matemáticas, magia y misterio» de Martin Gardner. (RBA 2011). Con este árbol podrás hacer un juego de magia, en el que una de las velas rojas desaparece y se convierte en una blanca.

Felicitacion Navidad 2015

¿Cómo se construye el árbol?

Necesitas la hoja con las piezas del recortable, que puedes descargar aquí:

Paradoja de Deland

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Además necesitarás tijeras, pegamento y quizá 5 minutos. Verás que es muy muy fácil de construir.

Materiales necesarios

En el documento hay piezas para construir 2 árboles. Hemos pensado que quizá, aprovechando el espíritu navideño, puedes construir un árbol para ti y otro para regalárselo a alguien. Además así podemos hacer que Divermates sea conocido por mucha más gente…

Vamos a fijarnos en las piezas de media página. Para empezar debes recortar las dos piezas verdes, con las que vamos a construir dos conos. En realidad la pieza de 3 estrellas amarillas no es necesaria, es solo un adorno que explicaremos al final.

Las piezas basicas

Con ayuda de una regla, o del borde de una mesa, curva las piezas para que empiecen a tomar la forma del cono. Es muy importante que NO dobles la lengüeta.

Piezas curvadas

Puede ayudar, antes de pegar, hacer un pequeño doblez en el vértice del cono, hacia la mitad, lejos de la línea de la lengüeta.

Pequeño doblez que ayuda

Extiende pegamento, por la cara interior del papel, en la parte opuesta a la lengüeta.

Extender el pegamento por dentro

Y forma el cono haciendo coincidir el borde del papel con la línea punteada de color verde

pegando y alineando 1

pegando y alineando 2

Puedes ayudarte a dar un acabado perfecto al vértice presionando desde dentro con la punta de un bolígrafo.

Terminado del vertice con un boli

Realiza los mismo pasos con la otra pieza. ¡Ya tienes terminadas las dos partes importantes del árbol!

Las dos piezas listas

Debes poner el cono pequeño encima del grande. NO LOS PEGUES, necesitamos que el superior pueda girar con respecto al inferior.

La paradoja de Deland

Observemos que una de las partes de vela blanca inferiores tiene debajo una estrella. Debemos hacer coincidir esa parte con la otra parte de vela blanca superior que también tiene una estrella encima, como se muestra en la imagen.

posicion inicial

Si ahora observas alrededor del árbol podrás contar 3 velas blancas y 5 velas rojas.

Ahora vamos a girar la pieza superior y la vamos a colocar en otra posición. En este giro haremos coincidir la parte inferior blanca con estrella, con una parte superior con estrella en la que solo se llega a ver la llama, como muestra la imagen.

posicion final

Si ahora cuentas las velas verás que una de las velas rojas se ha convertido en blanca, y tenemos 4 de cada color. ¡¡¡MAGIA!!! Se puede apreciar muy bien si lo miras desde arriba.

IMG_7971_2

 Te dejamos a ti el placer de investigar dónde radica el secreto geométrico de este juego de magia.

¡¡Soy un valiente y quiero hacer la estrella!!

Para construir la estrella debes plegar la pieza en forma de acordeón. Luego extiende pegamento por la cara no impresa para formar una pieza como la que puedes ver en las fotos siguientes.

Plegar primero por los cuadrados IMG_7974

Despues en acordeon

ponemos pegamento

IMG_7977

La pieza con su forma final

Antes de que seque el pegamento debes meter un palillo, o la punta de un bolígrafo, para hacer un hueco en la parte inferior. Por este hueco vamos a introducir más adelante la punta del cono.

Haciendo hueco para insertar el cono

Haciendo hueco para insertar el cono 2

Una vez hecho todo esto, recortamos la forma de la estrella en cada una de las 3 partes que hemos formado. Ahora sí, la colocamos en la punta del cono con un poco más de pegamento.

recortamos la estrella

Ponemos pegamento en la punta

Arbol finalizado

Esperamos que os divirtáis construyendo el árbol y enseñando a vuestros amigos lo curiosas y fascinantes que pueden ser las matemáticas.

Y por supuesto os deseamos un 2016 lleno de proyectos cumplidos, ilusión, alegría y muchas matemáticas divertidas.

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Matemagia, Navidad, 2 comentarios
Matemagia «Barras de sumas»

Matemagia «Barras de sumas»

Barras de sumas Vamos a explicarte un juego de matemagia con el que parecerá que tienes excelentes habilidades de cálculo mental. Primero tendrás que construirte un material para poder hacer esta matemagia. Puedes descargarlo en el siguiente enlace:

Barras de sumas

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¿Cómo se construye el material?

Lo primero que tienes que hacer es conseguir tijeras y pegamento, además de la hoja con las piezas.

IMG_7530Recortaremos todas las piezas. Hay dos tipos diferentes: unas de colores con números que formarán un prisma, y otras con líneas punteadas de dos formatos diferentes. Estas últimas no son imprescindibles, pero sirven para construir una especie de esqueleto que hacen las barras un poco más resistentes.

El primer paso es recortar todas las piezas, dejando cuatro de cada tipo. Fíjate que con cada pieza de números debe quedar una pestaña de color gris que servirá para pegar el prisma:

Piezas recortadas En las piezas de números hay que doblar todas las líneas punteadas:

IMG_7532Pieza con todos los doblecesY ahora pegar con cuidado aplicando pegamento en la pestaña de color gris:

Aplicando el pegamentoBarra pegadaLas piezas de esqueleto son un poquito más complejas. Lo primero que hay que hacer es doblarlas en acordeón, de forma que al cerrar formarían una estrella de 4 puntas:

EsqueletoEsqueleto con forma de estrellaAplicamos pegamento en toda la cara interior. De esta forma al pegar nos quedará una especie de «aspa-prisma» que nos servirá de esqueleto, dando rigidez a la pieza exterior:

Aplicando pegamento al esqueletoEsqueleto terminadoUna vez que tienes las dos piezas se inserta el aspa dentro del prisma, de forma que cada arista del aspa coincida con una arista del prisma. Quedará así una estructura bastantes sólida. Lo bueno es que se puede volver a desmontar, dejando cada pieza plana. Así, podrás llevar las piezas aplastadas en un libro o carpeta, protegidas durante el transporte.

Las dos piezas por separadoEncajando las piezasPieza terminada Construye de la misma forma cada uno de los cuatro prismas:

Barras de sumas ¡Ya estás listo para comenzar!

 

El efecto mágico

Pide a cualquier espectador que coloque las barras en el orden que quiera. Al colocar las cuatro barras juntas se formarán 5 números de 4 cifras, aparentemente azarosos. Hay en total más de 6000 formas de colocar las barras. Demuestra que eres capaz de calcular el resultado de la suma de estos números a toda velocidad, anunciando el resultado de un solo vistazo a las barras:

Montaje listo para adivinarEn este caso el resultado de la suma será 34873.

 

El Secreto

Las barras están construidas pensando en que los números 1º, 2º, 3º y 5º contando de arriba hacia abajo sumen 27. El total por tanto será 27 más el número que aparezca en 4º lugar. Dado que sumamos por columnas, y que cualquiera de ellas sumará 30 o más, de la primera columna nos llevaremos 3, que al sumarlo a la segunda nos dará 27 + 3 + el número en la 4ª casilla. Por tanto, para adivinar el resultado solo me tengo que fijar en el número que aparece en la 4ª fila. Quitamos 3 unidades a este número y le añadimos un 3 al principo. En nuestro ejemplo el número de la 4ª fila es 4876, y el resultado de la suma será por tanto 34873 (resto 3 unidades y añado ese 3 al principio).

La fila 4ª tiene el secretoEn realidad funciona igual si lo haces con más o menos barras, y también si te haces dos juegos de barras y lo llevas a cabo con 7, 8, 9… o la cantidad de barras que quieras. Si nos fijamos en el siguiente ejemplo, con 3 barras, el resultado final será 3873.

Ejemplo con 3 barrasPues esto es todo. Ya puedes fascinar a tus amigos haciéndoles creer que eres una auténtica calculadora humana. No te olvides de dejarnos un comentario si te ha gustado el juego de magia y te ha servido para cosechar éxitos como prestidigitador.

 

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Matemagia, 3 comentarios

Icosaedro áureo

¿Sabías que en el interior del icosaedro se intersecan tres rectángulos iguales? ¿Y que esos tres rectángulos son áureos?

Nosotros hemos querido comprobarlo y hemos construido un icosaedro intersecando tres tarjetas de crédito, que como ya sabemos los DNIs, las tarjetas de crédito, la tarjeta de socio de la Fnac, la del gimnasio, etc., son rectángulos áureos. Y aquí tenéis el resultado.

 Icosaedro hecho con palillos de los oídos, hilo de pescar y tarjetas de crédito

Icosaedro áureo

¿Quieres hacerte uno? Así lo hicimos:

  • Consigue 3 tarjetas de crédito inservibles y recórtalas para intersecarlas como ves en la figura(*).
  • Recorta palillos de los oídos del ancho de la tarjeta (30 palillos de 5.4cm) para las aristas.
  • Pegamos con celo las aristas que van en el lado corto de la tarjeta.
  • Unimos el resto de los palillos con hilo de pescar por dentro (¿Podríamos pasar el hilo una única vez por cada arista?… Esto es un rompecabezas matemático)

(*) Para que encajen bien, no basta con hacer un corte en el lugar en el que irá la otra tarjeta, hay que hacer una ranura, es decir, quitar una parte de al menos el grueso de la tarjeta que vayas a insertar ahí. En dos de las tarjetas puedes no hacer corte desde el lado hasta la ranura, pero en una de ellas necesitarás hacer este corte para poder encajar las tres tarjetas.

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Curiosidades, 1 comentario

Anamorfosis navideña

¡Haz tu propia anamorfosis en forma de pino navideño! Este pino de navidad es un cono que esconde un mensaje. El mensaje sólo se puede leer bien mirando el cono desde arriba, desde el vértice.

¿Quieres hacerte uno?

  1. Imprime el pdf. Necesitarás pegamento y tijera
  2. Recorta. ¡Cuidado!, ¡no te dejes la lengüeta!
  3. Consejo: Enrosca un poco el cono para darle forma, pero no dobles la lengüeta
  4. Da pegamento en la lengüeta y pégalo.
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Cómo hacer una máquina de Galton (Quincunx)

g53

Ya que la sección «BricoMates»  está teniendo tanto éxito, aquí os dejamos una manera muy fácil de reciclar botellas de plástico para construir una máquina de Galton y poder experimentar por vosotros mismos y poder mostrar a vuestros estudiantes o a vuestros hijos lo sorprendentes que puede llegar a ser la probabilidad. (Encuentra más bricomates en la etiqueta «construcciones»)

g54-Si tiramos una bolita desde arriba, ¿en cuál de los huecos de abajo es más probable que caiga la bolita?– Casi siempre responden que cualquiera de los dos extremos.


Sin embargo, Galton ideó un aparato al que llamó Quincunx que consistía en dejar caer bolas que pasan a través de una zona de clavos colocados al tresbolillo (perpendicular a la pared) de forma que las bolas van chocando contra los clavos y, al azar, van hacia la izquierda o la derecha de cada clavo y van cayendo así hasta abajo, donde se recogen en unos recipientes con forma cilíndrica. Y Galton descubrió que al tirar muchas bolas, se ve que forman una campana de Gauss. A nosotros también nos quedan recogidas formando una campana de Gauss:

Galton-campana de Gauss

¿Sorprendido?

Seguro que ya estáis deseando construir una. Nosotros lo hicimos así:

  1. Consiguimos 45 botellas (¡Gracias Angelines!) pero se puede hacer con otra cantidad de botellas (No vale cualquier cantidad, ¿sabrías averiguar cuáles son esas cantidades adecuadas?)
  2. Quitamos el tapón y le hacemos una incisión en la boca
  3. Las cortamos para quedarnos sólo la parte que tiene la boca
  4. Pegamos con pegamento caliente en la unión (unimos de tal forma que en cada boca de la botella ponemos dos botellas por el otro extremo)

Fácil, ¿verdad? Si te animas a hacer la tuya, por favor, mándanos tus fotos.

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Cómo hacer una anamorfosis

HOLA Anamorfosis DivermatesSi entras en Divermates, verás un «HOLA» para darte la bienvenida a nuestra sede. Pero unos pasos más allá no verás escrito «HOLA», sino una maraña de líneas.

Es una anamorfosis que hemos hecho nosotros mismos, para darle a la oficina «el toque». Hicimos fotos del proceso porque queda tan sorprendente que sabíamos que algunos querríais haceros una.

Nosotros utilizamos el truco del proyector, que consiste en proyectar en la pared lo que quieres poner. Así lo hicimos:

  1. Pusimos un proyector a la altura de los ojos, en lo alto de una torre (mesas unas encima de otras) y conectado a un ordenador.
  2. Proyectamos en la pared, en diferentes lugares para ver dónde quedaba mejor (un lugar con muchos salientes queda más sorprendente)
  3. Pusimos cinta de carrocero alrededor de las letras para no salirnos de los bordes con la pintura
  4. Pintamos (varias capas, dejando secar entre una y otra)
  5. Quitamos la cinta de carrocero con sumo cuidado para que no se despegue la pintura.
Los Embajadores, de Hans Holbein

Los Embajadores, de Hans Holbein

Dentro del mundo de las anamorfosis, la más conocida es el cuadro «Los Embajadores» de Hans Holbein. En él se puede ver una calavera a los pies de los embajadores.

En la actualidad, artistas callejeros realizan anamorfosis en el suelo, como Julian Beever. En su página web puedes ver muchas de las anamorfosis por las que se ha hecho famoso.

Por último y para vuestro deleite, existe un programa que hace una anamorfosis con tu foto. Tiene manual y descarga gratuita. En esta misma página web podéis leer más sobre las anamorfosis.

Si os animáis a hacer la vuestra, ¡mandadnos vuestras fotos!

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Mural de Divermates: Sierpinski de la Energía Positiva

Nuestro Mural de Sierpinski casi acabado

Nuestro Mural de Sierpinski casi acabado

Está quedando precioso. Es nuestro mural de energía positiva, la que vosotros nos transmitís en forma de buenos deseos escritos en triángulos.

¿Qué nos pusiste?

¡Nos encantan todos! ¡Sois unos artistas!

Ya casi está listo y como veis estará presidiendo la oficina, siendo el foco de atención nada más entrar, en la pared naranja de Divermates.

Puedes ver las fotos del montaje en el álbum de fotos de nuestro mural Sierpinski.

Sierpinski

-¿Y qué es un Sierpinski?, se preguntarán algunos.

-Sierpinski era un matemático polaco al que le gustaban mucho los fractales.

-¡¿¿Y qué son los FRACTALES??!

-Son estructuras que se repiten por iteración a diferentes escalas, de tal forma que por más «zoom» que hagas en un fractal siempre tiene la misma estructura.

Triangulo y Alfombra de Sierpinski

Triangulo y Alfombra de Sierpinski

El triángulo de Sierpinski es uno de los tres fractales que llevan su nombre (los otros son la Alfombra de Sierpinski y la Curva de Sierpinski)

Construimos un triángulo de Sierpinski de la siguiente manera:

  1. Toma un triángulo equilátero
  2. Localiza los puntos medios de los lados del triángulo anterior. Estos puntos van a ser los vértices de un nuevo triángulo.
  3. Quita el nuevo triángulo del triángulo anterior.
  4. Repite lo anterior para los triángulos que resultan.

Cuando en vez de hacer estos pasos con un triángulo los haces con un cuadrado, sale la Alfombra de Sierpinski.

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Factorización en números primos con escurridores

Uso de la plantilla 20 = 2x2x5

Uso de la plantilla 20 = 2x2x5

¡Qué fácil es descomponer en producto de primos cuando tienes escurridores y pegatinas!

Hemos construido unas fichas hechas con escurridores que tienen números en amarillo. Al ponerlas sobre una plantilla nos deja descifrar la descomposición en factores primos de ese número.

Este fue uno de los juegos que más gustó a los profes que asistieron a nuestro taller con Fernando Blasco «¿Qué se te escurre?» de las JAEM 2013.

¿Cómo se usa?

Hay que poner la ficha del número que quieras descomponer (por ejemplo el 20, como en la imagen) en la casilla sombreada de la plantilla (la que pone «Número»). Sólo hay una posición correcta.

Sácale el jugo

Este juego se puede aprovechar como recurso para hacer pensar un poco a tus alumnos.cc4XHlMC86E_vInKkcqo1fqxUItjn6wHFSu0yqZ2_l0

  • En función de los números que quieras obtener descompuestos en factorización de primos, hay que pensar cómo distribuirlos en el escurridor para que sobre la mínima cantidad de anillas. ¡Nosotros conseguimos que no nos sobrase ninguna!
  • Se puede jugar al revés, quita las pegatinas amarillas y deja que operen para saber de qué número se trata.
  • Los números primos son de una determinada forma, y los cuadrados perfectos también la suya… ¿Cuáles son? ¿Hay alguna forma más que sea característica de algunos números?

    Los números primos y los números cuadrados tienen una forma determinada

    Los números primos y los números cuadrados tienen una forma determinada

¿Cómo lo construimos?

Lo que vas a gastar de escurridor dependerá de cuántos números quieras descomponer.

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  1. Decide qué números quieres y piensa su descomposición.
  2. Escribe esos números en las pegatinas
  3. Pega la pegatina en un hueco del escurridor, piensa cómo quedará la descomposición, qué lugares tendrás que tapar con pegatinas azules y ponlas.
  4. Después recorta el escurridor.

Haz esto con todos los números que quieras y listo. 

Para verlo con más detalle, puedes ver la galería de fotos de la construcción. Y si te quedan dudas, escríbenos.

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Factorización: Cómo construir las fichas en serie

  1.  Decide los números que quieres y ponlos en las pegatinas
  2. Recorta el escurridor con las formas que necesites y pon las pegatinas: las amarillas con el número y las azules para tapar los huecos que no necesitas
  3. Agrupa las fichas para que no dejen huecos y así en el siguiente que hagas ahorrarás escurridor
  4. Copia esa disposición para hacer una nueva
  5. Coloca la nueva encima de la que acabas de hacer
  6. Pon las pegatinas y recorta
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Rejilla de Cardano

¿Qué es? 

Girolamo Cardano (s. XVI)

Girolamo Cardano (s. XVI)

La rejilla de Cardano es un sistema de encriptación que consiste en utilizar una rejilla con algunos huecos señalados convenientemente.

La idea original es del matemático italiano Girolamo Cardano (s. XVI), quien la utilizó en una única posición. Las rejillas de varias posiciones se llaman rejillas giratorias y fueron utilizadas por los alemanes durane la Primera Guerra Mundial. También aparecen en novelas de misterio, como en «Mathias Sandorff«, de Julio Verne.

Nosotros lo hemos leído en un libro de Martin Gardner, «Matemáticas para todos (y códigos ultrasecretos)» (ISBN: 978-84-9006-043-8) y el método que seguimos es ligeramente diferente a como se explica en el libro.

¿Cómo me construyo una rejilla de Cardano?

Se trata de marcar las anillas de modo que al rotar la rejilla (en cuartos de vuelta) tenga cubiertas al final de la vuelta todas las celdas.

Necesitas:

Pasos:

  1. Recorta un cuadrado de cinco por cinco anillas.
  2. Colorea una anilla cualquiera con el rotulador, por ejemplo la de la esquina superior izquierda.
  3. Marca en el papel las celdas correspondientes que quedarán cubiertas por esta anilla coloreada al girarla cada cuarto de vuelta. En nuestro ejemplo serán las cuatro celdas de las esquinas.
  4. Colorea otra anilla cualquiera cuyo hueco correspondiente no esté coloreado (en nuestro ejemplo no puedes colorear ahora ninguna anilla de esquina). Por ejemplo la anilla que queda en diagonal con la anterior, la que ocupa el lugar (2,2) de la matriz de celdas de papel.
  5. Marca en el papel las celdas correspondientes que quedan cubiertas por esta anilla coloreada al girarla cada cuarto de vuelta. En nuestro ejemplo serán los lugares (2,2), (2,4), (4,2) y (4,4).
  6. Repite el proceso hasta acabar de cubrir las celdas. Deberías haber coloreado 6 anillas para tapar los 24 huecos (el del medio no se tiene en cuenta)

Nota: en la rejilla de tamaño 5×5, la celda del centro (ni se marca ni se colorea) no sirve para codificar el mensaje, pon una letra cualquiera .

¿Cómo se usa?

El emisor y el receptor del mensaje deberán tener cada uno una rejilla, marcadas de la misma manera (es decir, con las mismas anillas coloreadas) para poder comunicarse bien.

Imaginemos que queremos codificar el mensaje «Lo pasamos genial en las JAEM» (24 letras en total).

  1. Colocamos la rejilla sobre la cuadrícula de papel en la posición inicial (sin giro).
  2. En las celdas correspondientes a las anillas coloreadas, escribimos las primeras seis letras del mensaje de izquierda a derecha y de arriba a abajo.
  3. Giramos la rejilla un cuarto de vuelta y escribimos las siguientes seis letras del mensaje.
  4. Repetimos hasta que se nos acaben los huecos.

Nota: Si el mensaje fuese menor de 24 letras, rellenaríamos con más letras (al azar) el resto de las celdas. Si fuese mayor, rellenamos tantas cuadrículas de papel como sea necesario.

Para descodificar el mensaje, el emisor deberá seguir los mismos paso, leyendo las letras correspondientes a las anillas marcadas, girando un cuarto de vuelta cada vez.

 

Y por último os dejamos algo para pensar:

  • ¿Sirven las rejillas rectangulares? ¿Y con otras formas (triangulares por ejemplo)?
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