Fractales

Un triángulo de Sierpinski con papel

Un triángulo de Sierpinski con papel

Hoy queremos dedicar nuestra entrada a los fractales. Ya os hemos hablado en otros momentos de estas formas tan interesantes, cuya construcción se basa únicamente en repetir una y otra vez un mismo procedimiento. Esta idea la contamos con ejemplos muy visuales en nuestro taller de fractales, dedicado a alumnos de primero de primaria. Les mostramos algunos fractales que aparecen en la naturaleza y otros fractales descubiertos por distintos matemáticos, como el conjunto de Mandelbrot o el triángulo de Sierpinski. Al terminar el taller, construimos un triángulo de Sierpinski enorme con latas de refresco. Así que, para enteder qué es eso del triángulo de Sierpiski, vamos a enseñaros cómo construir uno muy sencillo con kirigami.


Un triángulo de Sierpinski es un fractal que puede construirse a partir de cualquier triángulo. Simplemente con cada iteración vamos a ir quitando a cada triángulo su triángulo central. Vamos a ver las primeras iteraciones:

Para construir nuestro triángulo de Sierpisnki de papel, sólo necesitarás dos folios, preferiblemente uno blanco y uno a color, tijeras y pegamento. Si quieres, para empezar, puedes seguir nuestro patrón, que te ayudará a seguir los pasos más fácilmente. Para un mejor resultado te animamos a imprimir a color el patrón que puedes descargar aquí:

Triángulo de Sierpinski – Divermates

Primera iteración

Lo primero que vamos a hacer es doblar el folio por la mitad, por la altura del triángulo, dejando las marcas hacia fuera.

Con el folio doblado y en horizontal, tenemos que ver las marcas como una escalera que sube de izquierda a derecha, es decir, a la izquierda la línea más corta y a la derecha las más largas. En esta posición, recortamos la línea central.

A continuación doblamos hacia arriba el rectángulo que queda a la derecha del corte, como muestra la imagen.

Este doblez es, en realidad, un doblez de referencia. Con esta marca, vamos a meter ese rectángulo hacia dentro.

Mirando desde el canto tiene que quedar como una W, un doblado en zig-zag.

Con esto, ¡ya tenemos la primera iteración!

Segunda iteración

Como estamos construyendo un fractal, con cada nueva iteración vamos a repetir lo que ya hemos hecho en la primera. Sin embargo, con cada iteración las repeticiones aumentan, es decir, vamos a tener que hacer los mismos pasos pero cada vez más veces. Sólo tenemos que ver que nuestro folio ahora ha quedado dividido en cuatro rectángulos (uno de ellos doblado hacia dentro). En la posición horizontal de partida, tenemos que fijarnos en los dos nuevos rectángulos, más pequeños que el inicial: el de arriba a la derecha y el de abajo a la izquierda. Repetimos todos los pasos en cada uno de estos dos rectángulos. Hay que tener en cuenta que cuanto más avanzamos, más capas tenemos. Así, habrá que cortar más capas y realizar más doblados.

Cortamos la línea central de cada uno de los dos rectángulos. Como hemos dicho, en el rectángulo de arriba esta vez cortaremos dos capas.

Hacemos los dobleces de referencia. Cuando tenemos doble capa, para un mejor acabado, es mejor doblar una hacia alante y otra hacia atrás.

Y doblamos hacia dentro, dejando la forma de zig zag. Como en el rectángulo de arriba tenemos las dos capas, tendremos que hacer más doblados.

Así queda tras la segunda iteración completa.

Siguientes iteraciones

Hemos visto que en la segunda iteración teníamos que repetir los pasos en dos nuevos rectángulos. Con cada iteración los rectángulos se duplican. ¿Cuántas veces tendremos que repetir entonces los pasos en esta tercera iteración? Efectivamente, ahora tenemos cuatro rectángulos más pequeños, donde tenemos que repetir todo el proceso.

Y así queda tras terminar la tercera iteración.

Con el patrón ya no quedan más marcas para seguir. No obstante, ahora que ya te hemos enseñado los pasos de cada iteración, desde Divermates te animamos a continuar, al menos, una más.

Para terminar y que quede más bonito todavía, vamos a pegar nuestro triángulo de Sierpinski en un folio en blanco. Dobla el folio en blanco por la mitad. A continuación echa pegamento sobre la parte trasera del triángulo de Sierpinski, esto es, donde aún pueden verse trozos de marcas, y pégalo sobre el folio doblado en blanco. Lo más sencillo es echar primero pegamento a una mitad, y cuando esté pegada, echárselo a la otra mitad.

También puedes hacerte un cuadernillo con las primeras iteraciones como el que te mostramos en el siguiente vídeo, realizado en el colegio Ruta de la Plata de Almendralejo:

¡Esperamos que lo disfrutéis!

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Mural de Divermates: Sierpinski de la Energía Positiva

Nuestro Mural de Sierpinski casi acabado

Nuestro Mural de Sierpinski casi acabado

Está quedando precioso. Es nuestro mural de energía positiva, la que vosotros nos transmitís en forma de buenos deseos escritos en triángulos.

¿Qué nos pusiste?

¡Nos encantan todos! ¡Sois unos artistas!

Ya casi está listo y como veis estará presidiendo la oficina, siendo el foco de atención nada más entrar, en la pared naranja de Divermates.

Puedes ver las fotos del montaje en el álbum de fotos de nuestro mural Sierpinski.

Sierpinski

-¿Y qué es un Sierpinski?, se preguntarán algunos.

-Sierpinski era un matemático polaco al que le gustaban mucho los fractales.

-¡¿¿Y qué son los FRACTALES??!

-Son estructuras que se repiten por iteración a diferentes escalas, de tal forma que por más «zoom» que hagas en un fractal siempre tiene la misma estructura.

Triangulo y Alfombra de Sierpinski

Triangulo y Alfombra de Sierpinski

El triángulo de Sierpinski es uno de los tres fractales que llevan su nombre (los otros son la Alfombra de Sierpinski y la Curva de Sierpinski)

Construimos un triángulo de Sierpinski de la siguiente manera:

  1. Toma un triángulo equilátero
  2. Localiza los puntos medios de los lados del triángulo anterior. Estos puntos van a ser los vértices de un nuevo triángulo.
  3. Quita el nuevo triángulo del triángulo anterior.
  4. Repite lo anterior para los triángulos que resultan.

Cuando en vez de hacer estos pasos con un triángulo los haces con un cuadrado, sale la Alfombra de Sierpinski.

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Fractales

Conceptos como recursión, iteración y superficie máxima pueden aprenderse con  objetos de la vida cotidiana o con objetos más sorprendentes. Llevaremos al aula un ciprés, un helecho y un romanescu, pero también Celdas de Hele-Shaw (fotos) en las que un material diseñado por nosotros consigue el objetivo de dejar que los alumnos experimenten cómo se forma un fractal.

 

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Sierpinski

Waclaw Sierpinski da nombre a un fractal conocido como «Triángulo de sierpinski». En él, unos triángulos van anidándose recursivamente, de forma que dentro de los triángulos grandes hay triángulos más pequeños, y luego más pequeños…

Hemos realizado una versión sencilla de este fractal, que se consigue de forma recursiva mediante cortes y dobleces de una hoja de papel. De esta forma, los alumnos de 5º de primaria de nuestros extraescolares experimentan a la vez que aprenden el concepto de recursión.

¡Vamos a hacer un precioso fractal!

kirigami - sierpinski

¿Verdad que queda bonito?

Un fractal es una estructura que sigue siempre una misma construcción, que generalmente puede definirse como algo que contiene copias más pequeñas de sí mismo. Esto hace que en un fractal sea difícil averiguar a simple vista la escala a la que está. Además, los fractales se forman por iteracción (es decir, por repetición) de una misma orden (u órdenes).

En nuestro fractal de Sierpinski, las instrucciones que vamos a seguir son éstas:

  • En la base, corta por la mitad hasta la mitad
  • Dobla la mitad izquierda
  • Inviértela hacia dentro

Pero tranquilos, que si esto os resulta muy complicado, podéis ayudaros de este patrón.

 

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Fractales en pruebas

Para poder enseñar, primero hay que aprender, experimentar, probar, mejorar, volver a experimentar, volver a mejorar… Y así hasta que decidimos que lo que les vamos a llevar al aula es lo mejor que podemos hacer para enseñarles cómo es un fractal (y aún así seguimos experimentando un poquito más, sólo por puro placer de hacer fractales tan bonitos)

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