Geometría

Cuboctaedro mutante fosforescente

Cuboctaedro mutante fosforescente

Hoy queremos hablaros del cuboctaedro. Este poliedro arquimediano se obtiene al truncar cada vértice de un cubo, de forma que obtenemos un poliedro de seis caras cuadradas y ocho caras triangulares. Además, queremos dedicarle esta entrada a nuestro amigo Fernando Blasco, que admira este poliedro.

Hace tiempo, en la tienda Tiger podías encontrar un juguete como el que se ve en la imagen. En realidad, es un cuboctaedro que puede deformarse creando distintas figuras, cada cual más curiosa. Desde Divermates queremos enseñaros cómo podéis crearos un cuboctaedro casero, similar al de Tiger, pero con materiales más al alcance de todos. Además, ¡los vértices de nuestro cuboctaedro brillan en la oscuridad!

Este cuboctaedro lo hicimos el verano pasado en nuestro Campamento de Divermates y fue todo un éxito. ¡Es fácil, divertido y, desde luego, engancha!

Para construirlo necesitarás los siguientes materiales:

  • 24 palos redondos de madera. Pueden ser de pincho moruno cortando la punta, o comprados directamente con la punta ya cortada.
  • Aproximadamente 75 centímetros de tubo de silicona fosforescente. Estos tubos los usan los pescadores y los podrás encontrar en la sección de pesca de cualquier tienda. Necesitaremos 24 trocitos de unos 3 centímetros de longitud.
  • 12 bridas, a ser posible blancas.

Preparación de las uniones

Lo primero que vamos a hacer es construir nuestras uniones, es decir, los vértices del cuboctaedro. Para cada vértice necesitamos dos trozos de tubo, de unos 3 centímetros cada uno, y una brida. Comenzamos cerrando un poco la brida, dejando un espacio para luego introducir los tubos. Es más fácil cerrarla poniendo el dedo “como tope” para que no se nos cierre del todo.

A continuación vamos a meter los dos tubitos en el hueco que queda dentro de la brida. Una vez alineados, dejando la brida en el medio del tubo, apretamos la brida todo lo que podamos.

Para terminar la unión, cortamos la brida sobrante.

¡Recuerda, necesitaremos 12 uniones en total!

Veamos ahora cómo unimos las uniones a los palos de madera. Lógicamente, lo único que tendremos que hacer es introducir el palo dentro del tubo. Pero cuidado, algunos palos entran demasiado justos y no es conveniente hacerlos entrar girándolos pues, al girarlos, podemos rajar el tubo. Lo mejor es meterlos por presión, con cuidado y paciencia.

Ya tienes todo listo para formar el cuboctaedro. No obstante, te daremos unas indicaciones que te facilitarán la construcción.

Construimos nuestro cuboctaedro

Un detalle que tenemos que tener en cuenta para construir y entender un cuboctaedro es que los triángulos siempre colindan con cuadrados, y los cuadrados con triángulos. Es decir, nunca habrá dos cuadrados con una arista en común, y lo mismo con los triángulos.

Para empezar vamos a formar un cuadrado. Aunque es indiferente qué palitos meter por cada tubo, a nosotros nos gusta el orden y la simetría. Por ello los cuadrados los cerramos metiendo los palos en tubos distintos, y los triángulos cerrando con el mismo tubo. Como podéis observar en la imagen, las aristas del cuadrado entran, cada una, en un tubo distinto de cada vértice.

A continuacion vamos a meter un palo en cada tubo.

Como hemos dicho que en el cuboctaedro los cuadrados colindan con un triángulo en cada una de sus aristas, vamos a cerrar los palos que hemos metido, dos a dos, formando triángulos en cada lado del cuadrado. Para continuar con la pauta de los vértices, estas uniones se realizarán metiendo los dos palos en un mismo tubo de cada vértice, como se ve en la imagen.

Puedes ver en la siguiente imagen a qué nos referiamos con que cerramos los triángulos con un mismo tubo en cada vértice.

En el siguiente paso vamos a hacer otros cuatro cuadrados. Cada uno de estos cuadrados irá aprovechando las aristas de dos triángulos. Como ya empezamos a darle tridimensionalidad, los cuadrados quedarán deformados, pero no te preocupes, vamos a continuar hasta cerrar el poliedro completo.

Para terminar de cerrar el cuboctaedro tendrás que seguir las indicaciones que hemos venido dando hasta ahora, pues no es fácil de representar con fotos. Ya solo quedaría cerrar los triángulos colindantes a los últimos cuadrados.

Y con esto, ¡ya tenemos nuestro cuboctaedro!

Variaciones del cuboctaedro

Recuerda que si lo dejas absorviendo luz, los vértices brillarán en la oscuridad, dándole un aspecto muy chulo. Además, como ya dijimos, esta construcción permite moverlo al gusto, así que podrás formar muchas otras formas. ¿Eres capaz de formar un octaedro? Te dejamos dos de nuestras imágenes favoritas, pero seguro que encuentras muchas otras diferentes.

Además, como podrás observar, este mecanismo no sólo sirve para hacer cuboctaedros. Puedes dejar volar tu imaginación y crear un sinfín de poliedros y figuras diferentes.

GIF

 No dudes en enviarnos todas tus creaciones, estamos ansiosos por descubrir nuevas formas y figuras.

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Felicitación 2016 – Árbol de Navidad con paradoja de Deland

Felicitación 2016 – Árbol de Navidad con paradoja de Deland

Este año queremos enviaros nuestros mejores deseos para 2016 con un pequeño árbol de Navidad que sirve para realizar la conocida paradoja de Deland. Puedes encontrar información sobre esta paradoja en el libro «Matemáticas, magia y misterio» de Martin Gardner. (RBA 2011). Con este árbol podrás hacer un juego de magia, en el que una de las velas rojas desaparece y se convierte en una blanca.

Felicitacion Navidad 2015


¿Cómo se construye el árbol?

Necesitas la hoja con las piezas del recortable, que puedes descargar aquí:

Árbol Divermates – Feliz 2016

Además necesitarás tijeras, pegamento y quizá 5 minutos. Verás que es muy muy fácil de construir.

Materiales necesarios

En el documento hay piezas para construir 2 árboles. Hemos pensado que quizá, aprovechando el espíritu navideño, puedes construir un árbol para ti y otro para regalárselo a alguien. Además así podemos hacer que Divermates sea conocido por mucha más gente…

Vamos a fijarnos en las piezas de media página. Para empezar debes recortar las dos piezas verdes, con las que vamos a construir dos conos. En realidad la pieza de 3 estrellas amarillas no es necesaria, es solo un adorno que explicaremos al final.

Las piezas basicas

Con ayuda de una regla, o del borde de una mesa, curva las piezas para que empiecen a tomar la forma del cono. Es muy importante que NO dobles la lengüeta.

Piezas curvadas

Puede ayudar, antes de pegar, hacer un pequeño doblez en el vértice del cono, hacia la mitad, lejos de la línea de la lengüeta.

Pequeño doblez que ayuda

Extiende pegamento, por la cara interior del papel, en la parte opuesta a la lengüeta.

Extender el pegamento por dentro

Y forma el cono haciendo coincidir el borde del papel con la línea punteada de color verde

pegando y alineando 1

pegando y alineando 2

Puedes ayudarte a dar un acabado perfecto al vértice presionando desde dentro con la punta de un bolígrafo.

Terminado del vertice con un boli

Realiza los mismo pasos con la otra pieza. ¡Ya tienes terminadas las dos partes importantes del árbol!

Las dos piezas listas

Debes poner el cono pequeño encima del grande. NO LOS PEGUES, necesitamos que el superior pueda girar con respecto al inferior.

La paradoja de Deland

Observemos que una de las partes de vela blanca inferiores tiene debajo una estrella. Debemos hacer coincidir esa parte con la otra parte de vela blanca superior que también tiene una estrella encima, como se muestra en la imagen.

posicion inicial

Si ahora observas alrededor del árbol podrás contar 3 velas blancas y 5 velas rojas.

Ahora vamos a girar la pieza superior y la vamos a colocar en otra posición. En este giro haremos coincidir la parte inferior blanca con estrella, con una parte superior con estrella en la que solo se llega a ver la llama, como muestra la imagen.

posicion final

Si ahora cuentas las velas verás que una de las velas rojas se ha convertido en blanca, y tenemos 4 de cada color. ¡¡¡MAGIA!!! Se puede apreciar muy bien si lo miras desde arriba.

IMG_7971_2

 Te dejamos a ti el placer de investigar dónde radica el secreto geométrico de este juego de magia.

¡¡Soy un valiente y quiero hacer la estrella!!

Para construir la estrella debes plegar la pieza en forma de acordeón. Luego extiende pegamento por la cara no impresa para formar una pieza como la que puedes ver en las fotos siguientes.

Plegar primero por los cuadrados IMG_7974

Despues en acordeon

ponemos pegamento

IMG_7977

La pieza con su forma final

Antes de que seque el pegamento debes meter un palillo, o la punta de un bolígrafo, para hacer un hueco en la parte inferior. Por este hueco vamos a introducir más adelante la punta del cono.

Haciendo hueco para insertar el cono

Haciendo hueco para insertar el cono 2

Una vez hecho todo esto, recortamos la forma de la estrella en cada una de las 3 partes que hemos formado. Ahora sí, la colocamos en la punta del cono con un poco más de pegamento.

recortamos la estrella

Ponemos pegamento en la punta

Arbol finalizado

Esperamos que os divirtáis construyendo el árbol y enseñando a vuestros amigos lo curiosas y fascinantes que pueden ser las matemáticas.

Y por supuesto os deseamos un 2016 lleno de proyectos cumplidos, ilusión, alegría y muchas matemáticas divertidas.

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Icosaedro áureo

¿Sabías que en el interior del icosaedro se intersecan tres rectángulos iguales? ¿Y que esos tres rectángulos son áureos?

Nosotros hemos querido comprobarlo y hemos construido un icosaedro intersecando tres tarjetas de crédito, que como ya sabemos los DNIs, las tarjetas de crédito, la tarjeta de socio de la Fnac, la del gimnasio, etc., son rectángulos áureos. Y aquí tenéis el resultado.

 Icosaedro hecho con palillos de los oídos, hilo de pescar y tarjetas de crédito

Icosaedro áureo

¿Quieres hacerte uno? Así lo hicimos:

  • Consigue 3 tarjetas de crédito inservibles y recórtalas para intersecarlas como ves en la figura(*).
  • Recorta palillos de los oídos del ancho de la tarjeta (30 palillos de 5.4cm) para las aristas.
  • Pegamos con celo las aristas que van en el lado corto de la tarjeta.
  • Unimos el resto de los palillos con hilo de pescar por dentro (¿Podríamos pasar el hilo una única vez por cada arista?… Esto es un rompecabezas matemático)

(*) Para que encajen bien, no basta con hacer un corte en el lugar en el que irá la otra tarjeta, hay que hacer una ranura, es decir, quitar una parte de al menos el grueso de la tarjeta que vayas a insertar ahí. En dos de las tarjetas puedes no hacer corte desde el lado hasta la ranura, pero en una de ellas necesitarás hacer este corte para poder encajar las tres tarjetas.

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Pentominós

El juego de los Pentominós os recordará mucho al Tangram o al Tetris.

Pentominós

Para jugar necesitaréis las piezas y las tarjetas que podéis descargar en pdf (mejor impreso en cartulina), hay piezas para 4 jugadores, pero pueden jugar hasta 24.

El juego consiste en tapar la zona de cuadrícula blanca completamente y sin que sobresalgan las piezas. Gana quien primero consiga hacer todas las tarjetas. Usa sólo las piezas que vienen indicadas en la tarjeta. Prueba en todas las posiciones, incluso boca abajo.

En clase recordamos entre todos las piezas del Tetris, entonces nos damos cuenta de que esas piezas cumplen unas características: todas están formadas por cuatro unidades con forma de cuadrado y además para formarlas cada unidad-cuadradito tiene que tener un lado alineado completamente con otro cuadradito, sin dejar huecos en medio. Por eso en el Tetris no hay una cruz por ejemplo. Después pintamos en la pizarra las posibles figuras para un supuesto tetris de piezas de cinco unidades-cuadraditos, dando indicaciones desde el sitio, verbalizando la posición de cada unidad. Cuando ya los tenemos todos, se puede proponer el reto de colocar todas esas piezas de cinco unidades (llamadas pentominós) en una única fila. Por último, repartimos las piezas para que las recorten y distribuimos los juegos de tarjetas (uno por grupo) para que jueguen.

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Cómo hacer una anamorfosis

HOLA Anamorfosis DivermatesSi entras en Divermates, verás un «HOLA» para darte la bienvenida a nuestra sede. Pero unos pasos más allá no verás escrito «HOLA», sino una maraña de líneas.

Es una anamorfosis que hemos hecho nosotros mismos, para darle a la oficina «el toque». Hicimos fotos del proceso porque queda tan sorprendente que sabíamos que algunos querríais haceros una.

Nosotros utilizamos el truco del proyector, que consiste en proyectar en la pared lo que quieres poner. Así lo hicimos:

  1. Pusimos un proyector a la altura de los ojos, en lo alto de una torre (mesas unas encima de otras) y conectado a un ordenador.
  2. Proyectamos en la pared, en diferentes lugares para ver dónde quedaba mejor (un lugar con muchos salientes queda más sorprendente)
  3. Pusimos cinta de carrocero alrededor de las letras para no salirnos de los bordes con la pintura
  4. Pintamos (varias capas, dejando secar entre una y otra)
  5. Quitamos la cinta de carrocero con sumo cuidado para que no se despegue la pintura.
Los Embajadores, de Hans Holbein

Los Embajadores, de Hans Holbein

Dentro del mundo de las anamorfosis, la más conocida es el cuadro «Los Embajadores» de Hans Holbein. En él se puede ver una calavera a los pies de los embajadores.

En la actualidad, artistas callejeros realizan anamorfosis en el suelo, como Julian Beever. En su página web puedes ver muchas de las anamorfosis por las que se ha hecho famoso.

Por último y para vuestro deleite, existe un programa que hace una anamorfosis con tu foto. Tiene manual y descarga gratuita. En esta misma página web podéis leer más sobre las anamorfosis.

Si os animáis a hacer la vuestra, ¡mandadnos vuestras fotos!

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Matemáticas para la paz

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Sadako Sasaki fue una niña japonesa que desarrolló una leucemia a causa de la explosión de la bomba de Hiroshima. Una amiga suya le contó que existía una leyenda que afirma que los dioses conceden un deseo a aquel que es capaz de hacer 1000 grullas de papel, así que Sadako se puso manos a la obra convirtiendo cualquier pedazo de papel que encontraba en el hospital en una grulla de papel.

Mientras dedicaba toda su energía a conseguir su millar de grullas descubrió que en el mismo hospital había muchos otros niños enfermos, así que se dijo que era un poco egoísta pedir el deseo solo para ella, y decidió que si conseguía completar su tarea su deseo sería traer la paz y la curación a todas las víctimas del mundo.

Cuando murió había conseguido completar 644 grullas. Sus compañeros de escuela, en homenaje a ella, completaron las 1000 grullas, y más tarde consiguieron que se erigiera un monumento dedicado a Sadako en lo que hoy se conoce como Parque de la paz de Hiroshima. Actualmente el parque vive permanentemente inundado de las grullas que manda gente de todo el mundo en apoyo al deseo de Sadako.

En Divermates usamos a menudo el origami como herramienta para enseñar matemáticas. Todas las dobleces son construcciones geométricas: bisectriz, mediatriz, recta paralela, rectas perpendiculares… Si además usamos la actividad para educar en valores ¿se puede pedir más?

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Matemáticas microscópicas

Pues aquí tenemos el nuevo «juguete» de Divermates, un microscopio USB con el que los alumnos podrán ver proyectadas las muestras que vamos a usar en nuestra actividad sobre «Matemáticas Microscópicas». La forma poliédrica de algunos virus o granos de polen, la doble hélice del ADN, las formas súper simétricas de algunos animales microscópicos o las formas en las que se distribuyen las paredes celulares de los tejidos vegetales son algunas de las matemáticas que están escondidas en lo más pequeño…¿Se te ocurren más ejemplos?

Microscopio

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Tensegridades

Miguel de Guzmán, una de las personas más influyentes en las nuevas formas de trabajar en matemáticas era un enamorado de las tensegridades.

Seguro que le encantaría esta versión tan simple que nuestros alumnos van a construir solo con materiales que se encuentran fácilmente por casa.

tensegridad modelo

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Espirales y Hélices

¿Hay varios tipos de espirales? ¿En qué se diferencian? ¿Cómo se construyen? Éstas y otras preguntan se les plantean a los alumnos en esta sesión en la que pueden tocar y construir espirales y hélices.

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Superfícies Regladas I

Las superfícies regladas tienen mayor importancia que las demás superficies en aplicaciones como la arquitectura. Hemos elegido una de ellas para construirla al final de la clase y los alumnos quedaron bastante contentos, aunque les costó un poco de esfuerzo pero finalmente consiguieron acabar la figura

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