Mates con papel

Felicitación Navideña – Calendario 2019

Felicitación Navideña – Calendario 2019

Con la llegada de estas fiestas tan esperadas queremos desearos un feliz año nuevo con un calendario que podréis llevar en el bolsillo. Os presentamos nuestro calendario-flexágono, con el que tendréis los doce meses del año en un único trozo de papel cuadrado. Pero cuidado, al principio sólo podrás ver cuatro meses, ¡el resto permanecerán ocultos hasta que llegue el momento adecuado!

¿Qué es un flexágono?

Un flexágono es una construcción, generalmente de papel, con forma de polígono. Cada cara contiene varias capas de papel «entrelazadas», de forma que al doblar por los lugares adecuados podemos encontrar otras caras de papel que al principio estaban escondidas. Digamos que es un trozo de papel que tiene más de dos caras. Pero los flexágonos no son solo un divertido pasatiempo, también son un objeto matemático que despertó mucho interés en el ámbito de la geometría y la topología.

Estas figuras fueron descubiertas en 1939 por Arthur Stone, quien descubrió el flexágono de seis lados. Arthur estudiaba matemáticas en la Universidad de Princeton, en Estados Unidos, donde el tamaño de los folios era mayor que el utilizado en Inglaterra. Cuentan que un día, al cortar sus apuntes para que entraran en una carpeta inglesa, se puso a plegar distraídamente las tiras de papel sobrantes. Fue así como logró, de forma accidental, construir un flexágono. Este primer flexágono, denominado actualmente “trihexaflexágono”, constaba sólo de tres caras, es decir, las dos visibles más una oculta. Al mostrarlo a otros profesores y amigos rápidamente se formó el «Princeton Flexagon Committee», que se dedicó a estudiarlos. Entre sus miembros estaba, entre otros, el científico Richard Feynman. Ellos decidieron llamar a este objeto flexágono, seguramente de la unión de flexar y polígono.

No existe únicamente este flexágono. El mismo Stone consiguió construir al día siguiente un nuevo flexágono con un total de seis caras, denominado actualmente “hexahexaflexágono». Aunque los más populares son los flexágonos con forma de hexágono o rectángulo, actualmente conocemos muchos otros, con formas muy diversas, y escondiendo cada uno distinta cantidad de caras en su interior.

Como hemos dicho, nuestro calendario es un cuadrado, es decir, un flexágono de cuatro lados. En él tenemos dos caras visibles más cuatro ocultas. A este flexágono se le conoce como “hexatetraflexágono”:

  • Hexa: seis caras.
  • Tetra: cuatro lados.
  • Flexágono.

Calendario 2019

Para construir este calendario sólo necesitarás tijeras, cúter y regla, pegamento y la plantilla que puedes descargarte aquí:

Calendario 2019 – Divermates

Lo primero que tenemos que hacer es dejar lista nuestra pieza de papel inicial, previa al doblado que nos formará el flexágono. Esta pieza consistirá en un cuadrado de 4×4, con un hueco central de 2×2, como muestra la imagen. Además, tendrá imagen por ambas caras.

Para empezar, tenemos que quitar todas las partes blancas de la hoja. Para ello, recortaremos por el borde, pero también la H central. En esta H central no basta sólo con hacer un corte con el cúter, pues tendremos que sacar la tira blanca con todo su grosor. Este detalle es importante para que después cambiar entre las caras de nuestro flexágono sea más sencillo. Cuidado, la línea blanca discontinua NO hay que recortarla.

A continuación doblamos, hacia atrás, por las cuatro líneas discontinuas.

Por último, vamos a echar pegamento por las partes no impresas, para pegar las capas dobladas anteriormente.

De esta manera tendremos la pieza de papel que buscábamos, que forma un anillo de doce cuadrados y con impresión por ambas caras.

Antes de continuar, vamos a doblar en ambas direcciones por todas las separaciones de los doce cuadrados. Ten en cuenta que algunas líneas no se ven por tener relleno negro a ambos lados. Te aconsejamos que primero dobles el cuadrado completo por la mitad en horizontal y vertical, así puedes situar esos dobleces en su lugar, aunque no estén marcados en la impresión. Después puedes doblar los bordes del cuadrado hacia ese doblez central, y así todo queda en su lugar correcto. Es importante doblar hacia delante y hacia atrás, para facilitar el uso del flexágono.

Comenzamos ahora con el doblado que nos llevará al flexágono. Para empezar tenemos que colocar nuestra pieza de papel en su posición correcta. Para ello lo colocaremos de forma que en el cuadrado superior derecho aparezca la foto de Sophie Germain, como muestra la imagen.

Cuando tenemos nuestra pieza bien colocada vamos a realizar una serie de doblados. Comenzando por el lado de arriba, doblamos la fila superior hacia abajo. A continuación doblamos la columna de la derecha hacia dentro, y por último la fila inferior hacia arriba.

El último doblez, el de la izquierda, es el más complejo. Os dejamos como reto conseguir doblarlo de forma que el calendario quede bien montado. Esto es, que se vean los cuatro cuadrados naranjas por un lado y los rojos por otro. No te preocupes si no lo consigues. Al final te dejaremos un vídeo explicativo del montaje del flexágono.

¡Ya tienes tu calendario listo! Si todo ha salido correctamente tendremos por un lado del cuadrado los meses Enero y Febrero, y por el otro, Julio y Agosto.

¿Cómo funciona?

A continuación te enseñamos cómo mover el flexágono para hacer aparecer el resto de meses ocultos:


¡Divermates os desea unas felices fiestas y un feliz y muy matemático año 2019!

BIBLIOGRAFIA

Puedes aprender más sobre flexágonos, o construirte tus propios flexágonos visitando las siguientes páginas web:

Flexagon

Hexahexaflexagon y tetraflexagon

Entrada sobre flexágonos de la Wikipedia en inglés (hay enlaces al final a varias páginas con patrones)

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Navidad, 7 comentarios
Un triángulo de Sierpinski con papel

Un triángulo de Sierpinski con papel

Hoy queremos dedicar nuestra entrada a los fractales. Ya os hemos hablado en otros momentos de estas formas tan interesantes, cuya construcción se basa únicamente en repetir una y otra vez un mismo procedimiento. Esta idea la contamos con ejemplos muy visuales en nuestro taller de fractales, dedicado a alumnos de primero de primaria. Les mostramos algunos fractales que aparecen en la naturaleza y otros fractales descubiertos por distintos matemáticos, como el conjunto de Mandelbrot o el triángulo de Sierpinski. Al terminar el taller, construimos un triángulo de Sierpinski enorme con latas de refresco. Así que, para enteder qué es eso del triángulo de Sierpiski, vamos a enseñaros cómo construir uno muy sencillo con kirigami.


Un triángulo de Sierpinski es un fractal que puede construirse a partir de cualquier triángulo. Simplemente con cada iteración vamos a ir quitando a cada triángulo su triángulo central. Vamos a ver las primeras iteraciones:

Para construir nuestro triángulo de Sierpisnki de papel, sólo necesitarás dos folios, preferiblemente uno blanco y uno a color, tijeras y pegamento. Si quieres, para empezar, puedes seguir nuestro patrón, que te ayudará a seguir los pasos más fácilmente. Para un mejor resultado te animamos a imprimir a color el patrón que puedes descargar aquí:

Triángulo de Sierpinski – Divermates

Primera iteración

Lo primero que vamos a hacer es doblar el folio por la mitad, por la altura del triángulo, dejando las marcas hacia fuera.

Con el folio doblado y en horizontal, tenemos que ver las marcas como una escalera que sube de izquierda a derecha, es decir, a la izquierda la línea más corta y a la derecha las más largas. En esta posición, recortamos la línea central.

A continuación doblamos hacia arriba el rectángulo que queda a la derecha del corte, como muestra la imagen.

Este doblez es, en realidad, un doblez de referencia. Con esta marca, vamos a meter ese rectángulo hacia dentro.

Mirando desde el canto tiene que quedar como una W, un doblado en zig-zag.

Con esto, ¡ya tenemos la primera iteración!

Segunda iteración

Como estamos construyendo un fractal, con cada nueva iteración vamos a repetir lo que ya hemos hecho en la primera. Sin embargo, con cada iteración las repeticiones aumentan, es decir, vamos a tener que hacer los mismos pasos pero cada vez más veces. Sólo tenemos que ver que nuestro folio ahora ha quedado dividido en cuatro rectángulos (uno de ellos doblado hacia dentro). En la posición horizontal de partida, tenemos que fijarnos en los dos nuevos rectángulos, más pequeños que el inicial: el de arriba a la derecha y el de abajo a la izquierda. Repetimos todos los pasos en cada uno de estos dos rectángulos. Hay que tener en cuenta que cuanto más avanzamos, más capas tenemos. Así, habrá que cortar más capas y realizar más doblados.

Cortamos la línea central de cada uno de los dos rectángulos. Como hemos dicho, en el rectángulo de arriba esta vez cortaremos dos capas.

Hacemos los dobleces de referencia. Cuando tenemos doble capa, para un mejor acabado, es mejor doblar una hacia alante y otra hacia atrás.

Y doblamos hacia dentro, dejando la forma de zig zag. Como en el rectángulo de arriba tenemos las dos capas, tendremos que hacer más doblados.

Así queda tras la segunda iteración completa.

Siguientes iteraciones

Hemos visto que en la segunda iteración teníamos que repetir los pasos en dos nuevos rectángulos. Con cada iteración los rectángulos se duplican. ¿Cuántas veces tendremos que repetir entonces los pasos en esta tercera iteración? Efectivamente, ahora tenemos cuatro rectángulos más pequeños, donde tenemos que repetir todo el proceso.

Y así queda tras terminar la tercera iteración.

Con el patrón ya no quedan más marcas para seguir. No obstante, ahora que ya te hemos enseñado los pasos de cada iteración, desde Divermates te animamos a continuar, al menos, una más.

Para terminar y que quede más bonito todavía, vamos a pegar nuestro triángulo de Sierpinski en un folio en blanco. Dobla el folio en blanco por la mitad. A continuación echa pegamento sobre la parte trasera del triángulo de Sierpinski, esto es, donde aún pueden verse trozos de marcas, y pégalo sobre el folio doblado en blanco. Lo más sencillo es echar primero pegamento a una mitad, y cuando esté pegada, echárselo a la otra mitad.

También puedes hacerte un cuadernillo con las primeras iteraciones como el que te mostramos en el siguiente vídeo, realizado en el colegio Ruta de la Plata de Almendralejo:

¡Esperamos que lo disfrutéis!

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¡Bienvenidas vacaciones!

¡Bienvenidas vacaciones!

Con la llegada de las vacaciones, todos buscamos la playa, la piscina, el campo… No somos pocos los que optamos por llevarnos algún juego a nuestras vacaciones. A nosotros en Divermates aún nos queda terminar este mes de julio cargadito de juegos y mates en nuestro campamento de verano, pero antes de irnos queremos dejaros algunos juegos y desafíos para esta época  tan esperada.

Desafío platónico

Al ver una camiseta con los cinco sólidos platónicos nos inspiramos para realizar este rompecabezas. ¿Eres capaz de formar un triángulo recortando las proyecciones de los cinco poliedros regulares?

Pincha aquí y descubre la entrada que hicimos en Divulgamat con este reto.

Quarto

Os dejamos aquí un juego de estrategia para dos jugadores, algo similar a las tres en raya, creado por Blaise Muller. Llévatelo a la playa y reta a tus amigos, a ver quién gana más partidas.

Más allá del tres en raya. Pincha aquí si quieres aprender a jugar a Quatro.

Star Maths – Math Potter

Retomamos de nuevo uno de nuestros grandes éxitos de este año. Descubre el sistema binario en este juego de magia con dos de las sagas más exitosas. Haz nuevos amigos mostrando tus dotes de magia y adivinando sus personajes preferidos.

Seas de Harry Potter o de Star Wars, aprende a realizar este juego pinchando aquí.

Juegos de Sid Sackson

Ya os hablamos del «Patters», un juego de Sid Sackson. Este juego no necesita mas que las cartas que hemos maquetado para vosotros. Imprímelas, recórtalas, llama a algún amigo y divíertete con ellos.

Puedes descargarte el «Patters» y aprender a jugar pinchando aquí.

Ocho rompecabezas en uno

Por último, queremos recuperar un juego que os enseñamos hace mucho tiempo. Puedes jugar en solitario o con tus amigos, así que no tienes excusa para probarlo. Lo único que tienes que hacer es construirte unos cubos de colores, y enfrentarte a cada uno de los desafíos que os proponemos.

Pulsa aquí y descubre todo sobre «locura instantánea»  y los retos de los cubos.

 

¡Feliz verano! ¡Nos vemos en septiembre!

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Leyendo tu mente (con sistema binario)

Leyendo tu mente (con sistema binario)

El sistema binario es hoy en día imprescindible en nuestra vida. Todos los ordenadores y aparatos electrónicos lo utilizan. Además, tradicionalmente se ha utilizado para hacer juegos de magia en los que se puede adivinar algo simplemente pensado por un espectador.

Algunos ya conoceréis nuestro juego de magia Star Maths. Ante el éxito de este juego, hemos querido dejar distintas modalidades. Ahora podrás descargarte el mismo juego con tus personajes preferidos de Star Wars y de Harry Potter y pronto, de algunos más.

Star Maths

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Maths Potter

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Recuerda, para construirlo sólo necesitarás el documento descargado, pegamento y tijeras. Primero dobla la hoja por la mitad y a continuación extiende pegamento. Por último, para que el juego quede más bonito, recorta los bordes blancos.

El funcionamiento es similar, por eso volvemos a dejaros el vídeo en el que lo explicamos con nuestro primer modelo:

La única variante es que al cambiar el diseño hemos ocultado un poco más los códigos de adivinación. Están en las mismas posiciones que el juego «Star Maths», pero un poco más escondidas.

¡Que las mates te acompañen!

Publicado por Nelo Maestre en Matemagia, 0 comentarios
Octaedro I Ching, un juego de matemagia

Octaedro I Ching, un juego de matemagia

El I Ching o Libro de los cambios es uno de los libros más viejos del mundo del que se desconocen los orígenes. Durante más de 2000 años se ha utilizado en el Oriente como libro de adivinación, y todavía hoy se estudia con gran respeto como fuente rica en sabiduría. Decenas de miles de jóvenes que secundan el renacimiento actual del ocultismo consultan el I Ching con la misma seriedad que consultan la tabla Oiuja o las cartas del tarot.

La base combinatoria del I Ching consta de 64 hexagramas que muestran todas las permutaciones posibles de dos tipos de líneas, al tomarlas de seis en seis. Estos dos tipos de línea revelan la dualidad básica de la metafísica china: la línea cortada corresponde al yin y la línea continua al yang.

  • Tomando las líneas de dos en dos, hay 4 formas distintas de combinarlas (digramas).
  • Tomando las líneas de tres en tres, tenemos 8 formas distintas (trigramas).

Combinando los ocho trigramas, obtenemos los 64 hexagramas. Sustituyendo por un 1 cada línea continua, y por un 0 cada línea cortada, y tomando los hexagramas por orden, leyéndolos de arriba a abajo en cada uno se obtiene la sucesión 000000, 000001, 000010, 000011,…, 111111; que no es otra cosa que la de los números del 0 al 63 expresados en notación binaria. Hasta los tiempos de Leibniz no se reconoció este isomorfismo entre los hexagramas y la notación binaria.

Utilizando estos datos, vamos a comenzar nuestro juego de magia usando los ocho trigramas distintos. Para construir este juego nos hemos basado en un juego de Bob Hummer.

Construcción del octaedro I Ching

En Divermates hemos construido un octaedro con los ocho hexagramas con el que podrás realizar un nuevo truco de matemagia.

Para construir el octaedro I Ching sólo necesitarás tijeras, pegamento y el recortable que puedes descargar aquí:

Octaedro I Ching – Divermates

En cada pdf aparece el juego por duplicado, así podrás regalarle un octaedro a algún amigo. Cada juego consta de un octaedro plegable y un sobrecito para guardarlo.

Primero tendrás que recortar ambas piezas.

Comenzando por el octaedro, dobla por todas las líneas.

A continuación, echa pegamento en todas las solapillas para pegarlas como muestran las siguientes imágenes.


La figura resultante será un octaedro que puede plegarse y meterse en un sobre.

Para formar el sobre, únicamente tendrás que echar pegamento en las dos solapas.

¡Ya tenemos listo nuestro juego!

Realización del juego de magia

Antes de empezar, daremos a elegir a nuestro espectador uno de los ocho trigramas. Luego iremos moviendo el octaedro para saber en qué posiciones puede ver el trigrama elegido. En cada uno de estas posiciones nuestro espectador sólo tendrá cuatro trigramas visibles. Al final, con tres preguntas podremos adivinarlo.

Para facilitar la explicación de este juego, aquí os dejamos un vídeo con el procedimiento completo.

Numeración binaria

Otra opción para adivinar el trigrama seleccionado por nuestro espectador es usar la numeración binaria.

Si sustituimos, como dijimos antes, cada línea continua por un 1, y cada línea cortada por un 0, los ocho trigramas corresponden a los números del 0 al 7 en notación binaria.

Sólo tenemos que tener en cuenta la siguiente información:

La primera respuesta vale 1, la segunda respuesta vale 2 y la tercera 4. Esto se debe a que al utilizar la numeración binaria debemos usar las potencias de dos. Sabiendo esto, sólo tendremos que sumar estos valores cuando nuestro espectador responde SI.

Por ejemplo, si las respuestas de nuestro espectador son, en orden, NO-SI-SI, tendremos que sumar 0+2+4=6, obteniendo el lago.

Observa que la respuesta coincide con el método del video: NO-SI-SI corresponde a línea cortada-continua-continua.

BIBLIOGRAFIA

Fulves, K, (1988), Bob Hummer’s Colllected Secrets

Gardner, M, (2010), Rosqullas anudadas, Barcelona, RBA Libros.

Pla i Carrera, J, (2009), Liu Hui: nueve capítulos de la matemática china, Madrid, S.L. Nivola Libros y Ediciones.

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Curiosidades, Matemagia, 1 comentario
¡Sacamos las matemáticas a la calle!

¡Sacamos las matemáticas a la calle!

Si te has pasado por la calle Fuencarral este domingo 15 de enero habrás podido descubrir algunas de nuestras matemáticas sorprendentes. Si no pudiste visitarnos, no te preocupes, a continuación detallamos algunos juegos que enseñamos desde Divermates.

Star Maths

¿Te apasiona Star Wars? ¡No te pierdas nuestro último juego de magia!

star maths. matemáticas a la calle

Pincha para visitar la entrada en la que se explica con detalle el juego y sus versiones

Star Maths – Divermates

Mira el siguiente vídeo si quieres saber cómo adivinar el personaje preferido de Star Wars de cualquiera de tus amigos:

Billetes PI

Un juego de magia para los más peques.

billetes pi. matemáticas a la calle

Mira el siguiente vídeo si quieres saber cómo funciona el juego de los billetes:

Barras de sumas

Otro juego de magia, para los no tan peques.

barras de sumas. matemáticas a la calle

Pincha aquí si quieres saber cómo funcionan las barras de sumas.

Calendario-bote de lápices

También repartimos nuestro (espero que ya conocido) calendario-bote de lápices del 2017.

calendario bote de lápices flexágono. matemáticas a la calle

Pincha aquí si quieres aprender a construir nuestro calendario-bote de lápices.

¡Espero que disfrutaras con nosotros!

 

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Divermates en acción, Matemagia, 1 comentario
Calendario 2017 – Flexágono y prisma hexagonal

Calendario 2017 – Flexágono y prisma hexagonal

¡Ya está aquí el calendario-bote de lápices con forma de prisma hexagonal que os prometimos! Combinando de nuevo la construcción de un flexágono, esta vez con un prisma, podréis haceros vuestro propio bote de lápices con los meses de este año nuevo que llega.

Además, hemos incluido los nacimientos de algunos personajes de gran importancia para la historia de las matemáticas, muchos de los cuales son relevantes en nuestros talleres de Divermates. Con esto podréis saber si compartís día de nacimiento con alguno de ellos (mes seguro que sí).

Si ya hiciste el árbol navideño que cambia de color, no tendrás ningún problema para realizar ahora nuestro calendario-bote de lápices.

¿Cómo se construye?

De nuevo, lo único que necesitarás para construir tu calendario es pegamento, tijeras, y la hoja del recortable que puedes descargar aquí:

Calendario 2017 – Divermates

Esta vez las dos piezas que componen nuestro calendario se imprimirán cada una en una hoja. Es decir, no habrá que imprimir nada a doble cara, como hicimos con el árbol.

Preparación de las dos piezas

Recortamos cada pieza por el borde exterior. Cuidado, esta vez hay alguna complicación:

  • Siguiendo el borde exterior encontrarás algunas zonas con un reborde blanco. Por ahí habrá que recortar para separar dos zonas coloreadas de nuestra figura. Al hacer esto alrededor del mes de Enero nos comemos un trozo del hexágono, pero no te preocupes, no interfiere en el desarrollo de nuestro calendario.

  • También habrá que recortar los cuatro círculos que encontrarás dentro de cuatro de los hexágonos.

Como esta vez no hemos impreso a doble cara para evitar desvíos de impresión, antes de meternos con los dobleces propios de cada pieza, vamos a prepararla de forma que quede lista por ambas caras. Para ello habrá que doblar y pegar los meses enero-febrero-marzo sobre julio-agosto-septiembre. Seguidamente repetimos el proceso con los matemáticos Gauss-Agnesi-Turing sobre Galois-Mandelbrot-Kepler y Euler-Puig Adam-Pascal sobre Martin Gardner-Moebius-Ramanujan.

Después de estos pasos tenemos listas nuestras dos piezas.

Ya con nuestras piezas preparadas, vamos a comenzar con el doblado. Por una parte doblaremos los ocho hexágonos y las dos solapillas que encontrarás en dos de ellos. Por otro lado habrá que doblar también las líneas verticales que separan cada mes, incluidas las que están en las solapas a doble cara.

Una vez realizados todos los dobleces, cada una de las dos piezas quedará como se muestra a continuación:

Unión de las dos piezas

En esta construcción la unión de las piezas es mucho más sencilla. En plano, introduce las solapas hasta hacer encajar cada mes con sus respectivos nacimientos de matemáticos. Ten en cuenta que el patrón de colores queda como un «tablero de ajedrez».

Una vez encajadas las dos piezas, nos quedan tres solapillas, dos a un lado y una al otro. Sólo habrá que echar pegamento y pegarla por detrás para que quede una única pieza plana.

Cuidado al pegarlas. Las tiras de los cumpleaños deberán quedar bien alineadas por encima y por debajo de la tira de los meses.

El siguiente paso será pegar los hexágonos. Primero pegaremos el hexágono situado sobre Leibniz encima del hexágono situado sobre Riemann. Este paso podrá hacerse con más precisión si nos fijamos en dejar bien alineados los círculos que recortamos al principio.

Repetimos el mismo procedimiento con los dos hexágonos inferiores de esa mitad del prisma, los que coinciden con Cardano y Buckmister Fuller, dejando la parte gris visible.

Pegamos ahora los hexágonos de la otra mitad del prisma, dos a dos.

Las dos solapillas en las aristas de los hexágonos servirán para cerrar el calendario en la posición deseada.

¡Ya tenemos terminado nuestro calendario!

¿Conoces a todos los personajes que aparecen en el calendario?

Esperamos que no, y de esa forma te hayamos regalado estas fiestas algo nuevo que aprender.

Te deseamos que el 2017 esté lleno de nuevos descubrimientos.

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Navidad, 4 comentarios
¡Feliz año 2017! – Flexágonos y cuerpos geométricos

¡Feliz año 2017! – Flexágonos y cuerpos geométricos

En estas fechas, como cada año, queremos dejaros una felicitación para el año nuevo al estilo de Divermates. Partiendo de la idea de combinar flexágonos con cuerpos geométricos hemos conseguido dos construcciones que se basan en este mismo concepto. La primera de ellas es un árbol navideño que cambia de color.

Aunque estas construcciones son algo más difíciles que las de años anteriores merece mucho la pena intentarlo. El resultado serán dos figuras que asombrarán a todos tus amigos.

Como hemos dicho, vamos a empezar con la más fácil y propia de estas fiestas, el árbol de Navidad.

¿Cómo se construye?

Para construir este árbol solo necesitarás pegamento, tijeras, y la hoja del recortable que puedes descargar aquí:

Árbol cambio color – Divermates

Es importante imprimir el documento a dos caras (girando sobre uno de los lados cortos), de forma que al mirar a trasluz quede una imagen como la que se muestra a continuación:

Preparación de los semiconos

El modelo se compone sólo de dos piezas que deberán recortarse por el borde exterior:

Una vez que tenemos las dos piezas, lo primero que habrá que hacer es doblar las dos solapas que sobresalen en cada una de las piezas, y los trapecios numerados al final de cada una. Serán ocho dobleces en total: cuatro doblando las zonas blancas numeradas y otros cuatro doblando los sectores circulares nevados.

Es importante hacer estos dobleces en ambas direcciones. Primero hacia un lado y luego hacia el otro.

A continuación, dobla los lados largos del triángulo blanco central. También hay que doblar el trapecio que queda bajo el triángulo en una de las dos piezas.

Después de haber realizado todos los dobleces, cada una de las dos piezas quedarán como se muestra a continuación:

Para que el árbol adopte la forma cónica, podemos curvar la parte correspondiente, la que tiene forma de sector circular en colores verde y nevado, usando para ello un lápiz.

Vamos a proceder a cerrar los dos semiconos, echando pegamento en la solapa alargada.

¡Ojo! Cuidado al pegarlo. Las líneas del semicono deberán quedar bien alineadas con las solapas.

Una vez llegados a este punto, las dos piezas estarán listas para ser unidas.

Unión de los semiconos

Para unir ambas piezas vamos a colocar primero las solapas en su posición correcta. Para ello, hay que doblarlas sobre su propio semicono, quedando como muestra la imagen.

Comenzamos pegando la solapa número 1. Primero echamos pegamento sobre el triángulo 1 para, a continuación, pegar la solapa 1 sobre ese triángulo 1, cuidando que quede bien alineado.

Repetimos el proceso con la solapa número 2. Recuerda que las solapas de cada semicono deben rodear la parte redondeada de su semicono y llegar al otro a través del espacio entre ambos.

Después de repetir lo mismo con las cuatro solapas obtenemos una figura como la que se muestra a continuación.

El trapecio en blanco que queda sobrante bajo uno de los semiconos sirve para sujetar ambas mitades al colocar el árbol en cada uno de los colores.

¡Ya tenemos terminado nuestro árbol!

Una vez terminado, aconsejamos moldear el árbol por el lado blanco, y dejarlo unas horas por ese lado para que se adapte.

estad atentos al blog…

Próximamente os contaremos cómo hacer la otra figura que hemos creado para vosotros: un calendario-bote de lápices con forma de prisma hexagonal.

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Navidad, 1 comentario
Regla de cálculo, un viaje al pasado

Regla de cálculo, un viaje al pasado

La regla de cálculo es un instrumento que nos sirve para realizar operaciones matemáticas, como pueden ser multiplicaciones o divisiones, e incluso porcentajes, cálculos de proporcionalidad o raíces cuadradas.

ejemplos_de_regla_de_calculo

Fue sustituida inevitablemente por las calculadoras, pero durante más de 400 años fue instrumento imprescindible para todo científico o ingeniero. Por poner un ejemplo, muchos de los cálculos llevados a cabo durante las misiones Apolo, que llevaron al hombre a la luna, fueron realizados con reglas de cálculo. Hay que decir que por entonces la informática aún estaba dando sus primero pasos.

Hoy desde Divermates queremos dejaros un modelo para que os fabriquéis vuestra propia regla de cálculo. Para construirla solo necesitas pegamento, tijeras, e imprimir, a ser posible en cartulina, la plantilla que puedes descargar aquí:

Regla de cálculo – Divermates.

regla-de-cálculo--materiales

A continuación te detallamos las instrucciones para su montaje, que es muy sencillo:

Para empezar, recorta por todas las líneas continuas, separando la cartulina en las 7 piezas que vamos a necesitar. Estas piezas se pegarán en 3 capas:

  • Una capa inferior fija y única.
  • Otra capa intermedia que tiene 3 partes.
  • Una capa superior donde aparecen impresas las reglas propiamente dichas.

Es muy importante cortar las piezas de la forma más precisa posible, pues su buen deslizamiento dependerá de estos cortes. Aconsejamos hacer estos cortes con cutter y regla metálica.

regla-de-cálculo--piezas-cortadas

Primero pegamos una de las piezas más pequeñas de la capa intermedia sobre la cara no impresa de la base.

regla-de-cálculo--pegando-primera-pieza

Ahora pegamos la otra pieza pequeña de la capa intermedia. Para garantizar que la pieza central se podrá mover con libertad pero sin holgura, debemos usarla como referencia. Para ello colocamos en su posición dicha pieza (de color gris) pero sin pegarla. Una vez fijada la pieza pequeña, conviene deslizar la pieza gris a izquierda y derecha para comprobar que se desplaza.

regla-de-cálculo--pegando-segunda-pieza

regla-de-cálculo--comprobar-movimiento-de-la-pieza-gris

Debemos pegar ahora la parte inferior de la capa superior. Aplicaremos el pegamento en la pieza intermedia ya pegada a la base, de forma que la nueva pieza que colocamos quede limpia de pegamento en la parte sobrante, ya que nos servirá para construir el carril sobre el que se deslizará la pieza central. Para facilitar este paso puedes extraer la pieza gris por el momento.

regla-de-cálculo--pegando-regla-d

Ahora con la pieza gris de nuevo en su espacio pegamos la pieza de las reglas B-L-C sobre ella. Echamos el pegamento sobre la pieza de la regla, de forma que no quede pegamento sobrante sobre la pieza gris. Debemos intentar alinearla bien contra la regla D que ya tenemos pegada.

regla-de-cálculo--pegando-regla-b-l-cQueda la última pieza, la de las reglas K-A, que pegaremos sobre la pieza superior de la capa intermedia. De nuevo es importante que no caiga pegamento en la parte que permanece visible de la pieza gris. Para ello puede ser más sencillo si deslizamos esta pieza fuera para aplicar el pegamento. Además es importante alinear al 1 las reglas D y B-L-C, y también la nueva pieza de las reglas K-A cuando se fija en su lugar.

regla-de-cálculo--poniendo-pegamento-para-regla-k-a

regla-de-cálculo--pegando-alineada-la-regla-k-a

Después de presionar la pieza K-A para que se fije con el pegamento, hay que deslizar la pieza central a izquierda y derecha suavemente para que no se pegue con algún resto de pegamento y deslice suavemente.

regla-de-cálculo--comprobar-que-desliza-derecha

regla-de-cálculo--comprobar-que-desliza-izquierda

Y con esto tenemos lista nuestra regla de cálculo. Por ahora no hemos diseñado un cursor, dejamos esto a tu creatividad. En cualquier caso se puede utilizar cualquier regla para esta función.


¿Cómo funciona la regla de cálculo?

Comenzamos con multiplicaciones (usamos las letras C y D):

  • 2×3     Alineamos el 2 del D con el 1 del C, y nos fijamos con qué cifra del D coincide el 3 del C:          2×3=6

regla-de-cálculo--multiplicaciones-1

  • 2×8     Al alinear el 2 del D con el 1 del C, el 8 del C queda fuera de la regla. Cuando nos ocurre esto, tenemos que alinear el 2 del D, no con el 1 de C, sino con el 10 del C, para fijarnos de nuevo con qué cifra del D coincide el 8 del C:           2×8=16

regla-de-cálculo--multiplicaciones-2

Cuando tenemos distintos dígitos, o incluso decimales, hemos de saber la magnitud del resultado. La regla de cálculo nunca nos dice dónde iría la coma.

Vemos dos ejemplos, 11×25=275 y 1,1×2,5=2,75. Ambos se realizarían de igual manera, por lo que tenemos que saber la magnitud del resultado.

regla-de-cálculo--multiplicaciones-3

Para realizar divisiones se realizaría de forma inversa.

Por ejemplo, para hacer 6/3, tendríamos que hacer coincidir el 6 del D, con el 3 del C, para luego fijarnos con qué cifra del D coincide el 1 del C:           6/3=2

Vamos a ver cómo hacer cuadrados o raíces cuadradas (usamos las letras A y D, con la regla en posición inicial):

  • La letra A nos muestra el cuadrado del número que visualicemos en la letra D:           32=9
  • Así mismo, la letra D nos muestra la raíz cuadrada del número que visualicemos en la letra A.

regla-de-cálculo--raices-y-cuadrados-2

Intentamos ahora multiplicaciones dónde un multiplicando es un cuadrado (usamos las letras A, B y D):

  • 22x5    Alineamos el 2 del D con el 1 del B, y nos fijamos con qué cifra del A coincide el 5 del B:          22x5=20

regla-de-cálculo--multiplicando-cuadrado

Por último, veamos cómo hacer logaritmos en base 10 (usamos las letras L y D, con la regla en posición inicial):

  • La letra L nos muestra el logaritmo en base 10 del número que visualicemos en la letra D:           ln2=0.3

regla-de-cálculo--logaritmos

* Ojo! La escala de esta regla con la letra L es decimal, empieza en el 0.0 y acaba en el 1.0, pasando por 0.1, 0.2,… (pensad, que el logaritmo de 10 es 1).

Para más información, o instrucciones sobre otras operaciones, recomendamos visitar el siguiente vídeo. Es muy antiguo pero eso le da una autenticidad muy apropiada para esta herramienta.


 

 

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Felicitación 2016 – Árbol de Navidad con paradoja de Deland

Felicitación 2016 – Árbol de Navidad con paradoja de Deland

Este año queremos enviaros nuestros mejores deseos para 2016 con un pequeño árbol de Navidad que sirve para realizar la conocida paradoja de Deland. Puedes encontrar información sobre esta paradoja en el libro «Matemáticas, magia y misterio» de Martin Gardner. (RBA 2011). Con este árbol podrás hacer un juego de magia, en el que una de las velas rojas desaparece y se convierte en una blanca.

Felicitacion Navidad 2015


¿Cómo se construye el árbol?

Necesitas la hoja con las piezas del recortable, que puedes descargar aquí:

Árbol Divermates – Feliz 2016

Además necesitarás tijeras, pegamento y quizá 5 minutos. Verás que es muy muy fácil de construir.

Materiales necesarios

En el documento hay piezas para construir 2 árboles. Hemos pensado que quizá, aprovechando el espíritu navideño, puedes construir un árbol para ti y otro para regalárselo a alguien. Además así podemos hacer que Divermates sea conocido por mucha más gente…

Vamos a fijarnos en las piezas de media página. Para empezar debes recortar las dos piezas verdes, con las que vamos a construir dos conos. En realidad la pieza de 3 estrellas amarillas no es necesaria, es solo un adorno que explicaremos al final.

Las piezas basicas

Con ayuda de una regla, o del borde de una mesa, curva las piezas para que empiecen a tomar la forma del cono. Es muy importante que NO dobles la lengüeta.

Piezas curvadas

Puede ayudar, antes de pegar, hacer un pequeño doblez en el vértice del cono, hacia la mitad, lejos de la línea de la lengüeta.

Pequeño doblez que ayuda

Extiende pegamento, por la cara interior del papel, en la parte opuesta a la lengüeta.

Extender el pegamento por dentro

Y forma el cono haciendo coincidir el borde del papel con la línea punteada de color verde

pegando y alineando 1

pegando y alineando 2

Puedes ayudarte a dar un acabado perfecto al vértice presionando desde dentro con la punta de un bolígrafo.

Terminado del vertice con un boli

Realiza los mismo pasos con la otra pieza. ¡Ya tienes terminadas las dos partes importantes del árbol!

Las dos piezas listas

Debes poner el cono pequeño encima del grande. NO LOS PEGUES, necesitamos que el superior pueda girar con respecto al inferior.

La paradoja de Deland

Observemos que una de las partes de vela blanca inferiores tiene debajo una estrella. Debemos hacer coincidir esa parte con la otra parte de vela blanca superior que también tiene una estrella encima, como se muestra en la imagen.

posicion inicial

Si ahora observas alrededor del árbol podrás contar 3 velas blancas y 5 velas rojas.

Ahora vamos a girar la pieza superior y la vamos a colocar en otra posición. En este giro haremos coincidir la parte inferior blanca con estrella, con una parte superior con estrella en la que solo se llega a ver la llama, como muestra la imagen.

posicion final

Si ahora cuentas las velas verás que una de las velas rojas se ha convertido en blanca, y tenemos 4 de cada color. ¡¡¡MAGIA!!! Se puede apreciar muy bien si lo miras desde arriba.

IMG_7971_2

 Te dejamos a ti el placer de investigar dónde radica el secreto geométrico de este juego de magia.

¡¡Soy un valiente y quiero hacer la estrella!!

Para construir la estrella debes plegar la pieza en forma de acordeón. Luego extiende pegamento por la cara no impresa para formar una pieza como la que puedes ver en las fotos siguientes.

Plegar primero por los cuadrados IMG_7974

Despues en acordeon

ponemos pegamento

IMG_7977

La pieza con su forma final

Antes de que seque el pegamento debes meter un palillo, o la punta de un bolígrafo, para hacer un hueco en la parte inferior. Por este hueco vamos a introducir más adelante la punta del cono.

Haciendo hueco para insertar el cono

Haciendo hueco para insertar el cono 2

Una vez hecho todo esto, recortamos la forma de la estrella en cada una de las 3 partes que hemos formado. Ahora sí, la colocamos en la punta del cono con un poco más de pegamento.

recortamos la estrella

Ponemos pegamento en la punta

Arbol finalizado

Esperamos que os divirtáis construyendo el árbol y enseñando a vuestros amigos lo curiosas y fascinantes que pueden ser las matemáticas.

Y por supuesto os deseamos un 2016 lleno de proyectos cumplidos, ilusión, alegría y muchas matemáticas divertidas.

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Matemagia, Navidad, 2 comentarios