Rompecabezas

Felicitación Navideña – Calendario 2019

Felicitación Navideña – Calendario 2019

Con la llegada de estas fiestas tan esperadas queremos desearos un feliz año nuevo con un calendario que podréis llevar en el bolsillo. Os presentamos nuestro calendario-flexágono, con el que tendréis los doce meses del año en un único trozo de papel cuadrado. Pero cuidado, al principio sólo podrás ver cuatro meses, ¡el resto permanecerán ocultos hasta que llegue el momento adecuado!

¿Qué es un flexágono?

Un flexágono es una construcción, generalmente de papel, con forma de polígono. Cada cara contiene varias capas de papel «entrelazadas», de forma que al doblar por los lugares adecuados podemos encontrar otras caras de papel que al principio estaban escondidas. Digamos que es un trozo de papel que tiene más de dos caras. Pero los flexágonos no son solo un divertido pasatiempo, también son un objeto matemático que despertó mucho interés en el ámbito de la geometría y la topología.

Estas figuras fueron descubiertas en 1939 por Arthur Stone, quien descubrió el flexágono de seis lados. Arthur estudiaba matemáticas en la Universidad de Princeton, en Estados Unidos, donde el tamaño de los folios era mayor que el utilizado en Inglaterra. Cuentan que un día, al cortar sus apuntes para que entraran en una carpeta inglesa, se puso a plegar distraídamente las tiras de papel sobrantes. Fue así como logró, de forma accidental, construir un flexágono. Este primer flexágono, denominado actualmente “trihexaflexágono”, constaba sólo de tres caras, es decir, las dos visibles más una oculta. Al mostrarlo a otros profesores y amigos rápidamente se formó el «Princeton Flexagon Committee», que se dedicó a estudiarlos. Entre sus miembros estaba, entre otros, el científico Richard Feynman. Ellos decidieron llamar a este objeto flexágono, seguramente de la unión de flexar y polígono.

No existe únicamente este flexágono. El mismo Stone consiguió construir al día siguiente un nuevo flexágono con un total de seis caras, denominado actualmente “hexahexaflexágono». Aunque los más populares son los flexágonos con forma de hexágono o rectángulo, actualmente conocemos muchos otros, con formas muy diversas, y escondiendo cada uno distinta cantidad de caras en su interior.

Como hemos dicho, nuestro calendario es un cuadrado, es decir, un flexágono de cuatro lados. En él tenemos dos caras visibles más cuatro ocultas. A este flexágono se le conoce como “hexatetraflexágono”:

  • Hexa: seis caras.
  • Tetra: cuatro lados.
  • Flexágono.

Calendario 2019

Para construir este calendario sólo necesitarás tijeras, cúter y regla, pegamento y la plantilla que puedes descargarte aquí:

Calendario 2019 – Divermates

Lo primero que tenemos que hacer es dejar lista nuestra pieza de papel inicial, previa al doblado que nos formará el flexágono. Esta pieza consistirá en un cuadrado de 4×4, con un hueco central de 2×2, como muestra la imagen. Además, tendrá imagen por ambas caras.

Para empezar, tenemos que quitar todas las partes blancas de la hoja. Para ello, recortaremos por el borde, pero también la H central. En esta H central no basta sólo con hacer un corte con el cúter, pues tendremos que sacar la tira blanca con todo su grosor. Este detalle es importante para que después cambiar entre las caras de nuestro flexágono sea más sencillo. Cuidado, la línea blanca discontinua NO hay que recortarla.

A continuación doblamos, hacia atrás, por las cuatro líneas discontinuas.

Por último, vamos a echar pegamento por las partes no impresas, para pegar las capas dobladas anteriormente.

De esta manera tendremos la pieza de papel que buscábamos, que forma un anillo de doce cuadrados y con impresión por ambas caras.

Antes de continuar, vamos a doblar en ambas direcciones por todas las separaciones de los doce cuadrados. Ten en cuenta que algunas líneas no se ven por tener relleno negro a ambos lados. Te aconsejamos que primero dobles el cuadrado completo por la mitad en horizontal y vertical, así puedes situar esos dobleces en su lugar, aunque no estén marcados en la impresión. Después puedes doblar los bordes del cuadrado hacia ese doblez central, y así todo queda en su lugar correcto. Es importante doblar hacia delante y hacia atrás, para facilitar el uso del flexágono.

Comenzamos ahora con el doblado que nos llevará al flexágono. Para empezar tenemos que colocar nuestra pieza de papel en su posición correcta. Para ello lo colocaremos de forma que en el cuadrado superior derecho aparezca la foto de Sophie Germain, como muestra la imagen.

Cuando tenemos nuestra pieza bien colocada vamos a realizar una serie de doblados. Comenzando por el lado de arriba, doblamos la fila superior hacia abajo. A continuación doblamos la columna de la derecha hacia dentro, y por último la fila inferior hacia arriba.

El último doblez, el de la izquierda, es el más complejo. Os dejamos como reto conseguir doblarlo de forma que el calendario quede bien montado. Esto es, que se vean los cuatro cuadrados naranjas por un lado y los rojos por otro. No te preocupes si no lo consigues. Al final te dejaremos un vídeo explicativo del montaje del flexágono.

¡Ya tienes tu calendario listo! Si todo ha salido correctamente tendremos por un lado del cuadrado los meses Enero y Febrero, y por el otro, Julio y Agosto.

¿Cómo funciona?

A continuación te enseñamos cómo mover el flexágono para hacer aparecer el resto de meses ocultos:


¡Divermates os desea unas felices fiestas y un feliz y muy matemático año 2019!

BIBLIOGRAFIA

Puedes aprender más sobre flexágonos, o construirte tus propios flexágonos visitando las siguientes páginas web:

Flexagon

Hexahexaflexagon y tetraflexagon

Entrada sobre flexágonos de la Wikipedia en inglés (hay enlaces al final a varias páginas con patrones)

Publicado por Nelo Maestre en Bricomates, Navidad, 7 comentarios
Un rompecabezas topológico de Fibonacci

Un rompecabezas topológico de Fibonacci


Ya estamos de vuelta de las vacaciones, y en este mes de vuelta a clase nos gustaría retomar el curso con un rompecabezas topológico casero.

La topología puede parecer una parte algo compleja de las matemáticas cuando no has estudiado matemáticas a fondo. Nosotros en Divermates tenemos un taller dedicado exclusivamente a esta rama de las matemáticas, para niños de segundo de primaria. A priori puede parecer una locura tratar de hacer entender mínimamente a un alumno de 7 años lo que es  la topología, pero nosotros asumimos el reto, y, a día de hoy, podemos presumir de conseguirlo.

Formalmente la topología estudia las propiedades de las figuras que permanecen invariantes al ser sometidas a ciertas transformaciones, de forma que no aparezcan nuevos puntos o nuevos «agujeros». Es la geometría donde solo nos interesamos por la forma, sin atender a la medida.

En nuestro taller hablamos de la cinta de Möbius, cuya particularidad es tener un único un borde y una única cara. Al principio a los alumnos les parece una locura. Pero después de hacer distintos juegos y actividades entienden perfectamente este concepto.

Pero no es la banda de Möbius lo más interesante de la topología. Hay muchos problemas que han tratado grandes matemáticos a lo largo de la historia. Tenemos los puentes de Konigsberg, famosos problemas de nudos, el teorema de los cuatro colores, la botella de Klein, grafos… Os animamos a profundizar sobre estos juegos, modelos y problemas.

Sin embargo, la topología más al alcance de todos es quizá la que esconden los juegos topológicos de madera o metal. Seguramente alguna vez has visto alguno de estos juegos, donde aparecen elementos unidos por cuerdas que a simple vista parecen imposible de separar. Estos juegos topológicos ayudan a desarrollar la visión espacial, despertar la curiosidad y potenciar la paciencia y resolución de problemas con ingenio.

Os mostramos a continuación algunos de una colección muy especial:

¿Te gustaría construirte tu propio rompecabezas de papel?

Se cuenta que Chandlahuri, un sirviente indio de Fibonacci, regaló un rompecabezas como este al matemático pisano. Este rompecabezas fue llamado por Fibonacci como «lo joco enimmatico del brachiale torquato«, es decir, «el juego enigmático del brazalete retorcido».

¿Te has fijado en el diseño del rompecabezas? En honor al gran Fibonacci hemos querido dejar plasmada la sucesión que lleva su nombre en el brazalete: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55… Esta sucesión tiene muchas propiedades matemáticas, como, por ejemplo, la construcción de la espiral áurea que también podrás observar en el rectángulo.

Para construirtelo sólo necesitarás, tijeras, pegamento, un cordón de unos 25-30 cm. y el recortable que puedes descargar aquí:

Rompecabezas Topológico – Divermates

Como vamos a hacer un juego que vamos a manipular mucho con las manos te recomendamos construirlo con cartulina.

Lo primero que hay que hacer, como siempre, es recortar todas las piezas. Nuestro juego consta de un cuadrado, un rectángulo áureo y dos tiras onduladas. Observa que el cuadrado tiene un agujero en el centro, y que ambas piezas cuadriláteras tienen una cruz por donde deberá pasar la cuerda.

A continuación pegamos las dos tiras, poniendo pegamento solamente en las solapillas. Fijaos bien en dejar las tiras bien entrelazadas una con la otra, pero solo pegadas por los extremos.

Una vez tenemos nuestra pieza principal, la unimos a los cuadriláteros de la siguiente manera:

  • Primero anudamos la cuerda y la pasamos por la cruz del rectángulo.

  • A continuación hacemos pasar la cuerda por el agujero del centro del cuadrado.

  • Llevamos la cuerda por los dos huecos extremos de nuestro brazalete.

  • Y para terminar, la pasamos por la cruz del cuadrado para terminar haciendo un nudo.

¡Ya tienes tu rompecabezas topológico listo!

Ahora solo te queda aprender a deshacerlo, sin despegar las piezas, claro. ¿Eres capaz de separarlas estudiando únicamente los enredos de la cuerda y los agujeros de las piezas?

Pista:

los agujeros en este juego, como en casi todos los de este tipo, son clave.

¡Ánimo con ello! Tanto si lo consigues, como si tienes dudas, no dudes en dejarnos un comentario.

BIBLIOGRAFIA

Sarcone, G.A. (1997-2017). Torquato Puzzle: Archimedes Laboratory Project. Recuperado de aquí.

 

 

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¡Bienvenidas vacaciones!

¡Bienvenidas vacaciones!

Con la llegada de las vacaciones, todos buscamos la playa, la piscina, el campo… No somos pocos los que optamos por llevarnos algún juego a nuestras vacaciones. A nosotros en Divermates aún nos queda terminar este mes de julio cargadito de juegos y mates en nuestro campamento de verano, pero antes de irnos queremos dejaros algunos juegos y desafíos para esta época  tan esperada.

Desafío platónico

Al ver una camiseta con los cinco sólidos platónicos nos inspiramos para realizar este rompecabezas. ¿Eres capaz de formar un triángulo recortando las proyecciones de los cinco poliedros regulares?

Pincha aquí y descubre la entrada que hicimos en Divulgamat con este reto.

Quarto

Os dejamos aquí un juego de estrategia para dos jugadores, algo similar a las tres en raya, creado por Blaise Muller. Llévatelo a la playa y reta a tus amigos, a ver quién gana más partidas.

Más allá del tres en raya. Pincha aquí si quieres aprender a jugar a Quatro.

Star Maths – Math Potter

Retomamos de nuevo uno de nuestros grandes éxitos de este año. Descubre el sistema binario en este juego de magia con dos de las sagas más exitosas. Haz nuevos amigos mostrando tus dotes de magia y adivinando sus personajes preferidos.

Seas de Harry Potter o de Star Wars, aprende a realizar este juego pinchando aquí.

Juegos de Sid Sackson

Ya os hablamos del «Patters», un juego de Sid Sackson. Este juego no necesita mas que las cartas que hemos maquetado para vosotros. Imprímelas, recórtalas, llama a algún amigo y divíertete con ellos.

Puedes descargarte el «Patters» y aprender a jugar pinchando aquí.

Ocho rompecabezas en uno

Por último, queremos recuperar un juego que os enseñamos hace mucho tiempo. Puedes jugar en solitario o con tus amigos, así que no tienes excusa para probarlo. Lo único que tienes que hacer es construirte unos cubos de colores, y enfrentarte a cada uno de los desafíos que os proponemos.

Pulsa aquí y descubre todo sobre «locura instantánea»  y los retos de los cubos.

 

¡Feliz verano! ¡Nos vemos en septiembre!

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Concurso de Cortos de Divulgación «Martin Gardner»

Concurso de Cortos de Divulgación «Martin Gardner»

Tenemos una propuesta para ti: Coge tu móvil y cualquier libro que tengas de Martin Gardner. Busca quienes serán tus actores (menores de 19 años) y cuéntanos cualquier concepto de divulgación matemática que se trate en alguna de las obras de Martin Gardner.

No hace falta una gran producción, solo una idea ingeniosa y bien contada. Tienes que contarla deprisa, en menos de 10 minutos. No es imprescindible grabarlo con el móvil. Si lo prefieres puedes hacerlo con cualquier técnica y con toda la calidad que desees.

Súbela a youtube y rellena los datos del formulario. ¡Ya estás dentro del Concurso de Cortos de Divulgación «Martin Gardner»! Este Concurso está organizado por el Ayuntamiento de Velilla de San Antonio, con la ayuda de Divermates y el apoyo de FECYT.

Bases y ficha de Inscripción al Concurso de Cortos de Divulgación Matemática.

También puedes elegir primero el tema y comprobar si Martin Gardner escribió sobre él. Es muy probable que así sea ya que escribió sobre prácticamente todo lo que hay de matemáticas. En internet pueden consultar su bibliografía. También puedes buscar si publicó algún artículo del tema que te gusta en su «columna matemática» de la revista Scientific American. Hay una lista completa de los títulos de los artículos aquí.

Esperamos vuestras propuestas como homenaje al más grande divulgador de las matemáticas, para terminar de conmemorar los 100 años de su nacimiento.

Marrtin Gardner con botella de Klein

Martin Gardner con botella de Klein

 

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Cubos de colores: ocho rompecabezas en uno

cubos de colores

El juego consiste en un total de 8 retos. En cada reto el objetivo es colocar cuatro cubos de una determinada forma para que la composición sea la que indica la tarjeta. La complicación está en que cada cubo tiene una cantidad diferente de cada color. El juego puede ser individual o colectivo. En este último caso recomendamos equipos de 4 jugadores (uno por cubo) en juego cooperativo. ¡Gana el primer equipo que consiga los 8 retos!

Para jugar necesitaréis cuatro cubos y los 8 retos. Los retos vienen descritos y acompañados de una imagen en estas tarjetas que podéis descargar, imprimir y recortar (cada hoja se divide en 4 tarjetas). Para construir los cubos, necesitaréis papel de cuatro colores y las instrucciones de plegado y la distribución de los colores de cada cubo.

Veréis que en estas instrucciones vienen las «instrucciones de plegado», la «distribución de colores para tarjetas» y «distribución de colores para locura instantánea». La «distribución de colores para tarjetas» es la que hay que seguir para los ocho retos de las tarjetas anteriores. La «distribución para locura instantánea» es para otro juego que os proponemos que consiste, como viene indicado, en construir una torre con los cuatro cubos de forma que en cada lado de la torre estén los cuatro colores.

En clase pedimos primero que dibujen un cubo desplegado. Luego damos indicaciones para plegar el primer módulo, plegando si es necesario el primero con ellos. Es tan fácil de plegar que esta actividad la hemos hecho con alumnos de 3º de primaria. Los retos no son tan fáciles para ellos, depende del grado de visualización espacial que tengan desarrollado.

Para construir los cubos por equipos, primero se decide qué color corresponde a cada número (se apunta en un papel para no confundirnos). Después suelen repartirse los colores por persona (hay cuatro colores pero no la misma cantidad de cada color) y por último cada alumno debe montar un cubo (lo deciden ellos). Esto último es lo que más les cuesta, sobre todo la manera en la que tienen que distribuir los colores y construir el cubo a partir del desarrollo. Para finalizar es muy importante que comprueben que los cubos que han construido corresponden con los que tienen que hacer. Es mejor que intercambien los cubos para hacer un nuevo esfuerzo de visualización espacial.

Una vez que tienen los cubos construidos, les damos las tarjetas con los ocho retos. En este momento comienza el juego: entre todos deben ser capaces de cumplirlos todos los retos. Cuando un equipo ha conseguido uno de los retos deja la tarjeta a parte y se lo dice al profesor para que lleve la puntuación. Gana el equipo que primero consiga los ocho retos, pero el juego no termina hasta que los consigan todos.

Algunos alumnos se darán cuenta de cierto patrón que da lugar a un truco. Si nos fijamos en la construcción de los cubos en su forma desplegada, la columna 1 2 3 4 es constante, por lo que la tarjeta 3 es la más fácil. Además, una vez que tenemos la composición de la tarjeta 3, pasar a la composición de la tarjeta 1 es fácil girando una, dos, tres veces cada cubo respectivamente.

Referencias:

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Pentominós

El juego de los Pentominós os recordará mucho al Tangram o al Tetris.

Pentominós

Para jugar necesitaréis las piezas y las tarjetas que podéis descargar en pdf (mejor impreso en cartulina), hay piezas para 4 jugadores, pero pueden jugar hasta 24.

El juego consiste en tapar la zona de cuadrícula blanca completamente y sin que sobresalgan las piezas. Gana quien primero consiga hacer todas las tarjetas. Usa sólo las piezas que vienen indicadas en la tarjeta. Prueba en todas las posiciones, incluso boca abajo.

En clase recordamos entre todos las piezas del Tetris, entonces nos damos cuenta de que esas piezas cumplen unas características: todas están formadas por cuatro unidades con forma de cuadrado y además para formarlas cada unidad-cuadradito tiene que tener un lado alineado completamente con otro cuadradito, sin dejar huecos en medio. Por eso en el Tetris no hay una cruz por ejemplo. Después pintamos en la pizarra las posibles figuras para un supuesto tetris de piezas de cinco unidades-cuadraditos, dando indicaciones desde el sitio, verbalizando la posición de cada unidad. Cuando ya los tenemos todos, se puede proponer el reto de colocar todas esas piezas de cinco unidades (llamadas pentominós) en una única fila. Por último, repartimos las piezas para que las recorten y distribuimos los juegos de tarjetas (uno por grupo) para que jueguen.

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La trenza imposible

¿Y tú cómo haces la trenza Joan Miquel?

¿Y tú cómo haces la trenza Joan Miquel?

¡Qué divertido ha sido veros a todos con la trenza! Lo mejor es la cara de satisfacción cuando al fin se consigue. Y es que ¿quién puede resistirse a un rompecabezas?  Este es muy sencillo, se trata de tres tiras unidas por ambos extremos y hay que hacer una trenza.

Hicimos cerca de 200 y los repartimos a los asistentes a las JAEM2013. Y todos disfrutaron haciendo y deshaciendo la trenza una y otra vez. Alguno hubo que incluso sacó su propio algoritmo.

Otros, como el Mago Moebius, que tiene materiales topológicos con un material muy similar, nos propuso un desafío: ¿Se podría con un número de tiras mayor que 3? La respuesta os la dejamos pensar un poco, que nosotros ya tenemos un caso en que se puede. La solución la tendréis colgada en breve.

Mientras, aquí tenéis una foto del rompecabezas en la posición inicial (blanco) y ya resuelto (morado)

Rompecabezas trenza Divermates

Referencias:

La idea la sacamos del libro «¡Ajá! Paradojas que hacen pensar» de Martin Gardner (ISBN:978-84-473-5331-6), en el que cuenta la solución y da las referencias de donde él sacó la idea:

  • Artículo de A. H. Shepherd, «Braids wich can be plaited with their threads tied together at each end» («Trenzas que pueden tejerse con sus cabos ligados entre sí por sus extremos»), en los «Proceedings of the Royal Society», A, vol.265 (1962), pp.229-244.
  • Capítulo «Trenzas y teoría de grupos» del libro «Nuevos pasatiempos matemáticos» de Martin Gardner.

También la hemos visto en «Bricológica. Treinta objetos matemáticos para construir con las manos», de Robert Ghattas, de Ediciones Rialp (ISBN: 978-84-321-3909-3)

 

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Rompecabezas Tetraedro

¿Todas las pirámides son tetraedros? ¿todas las pirámides son de base triangular?

El tetraedro es un cuerpo geométrico muy especial. Sólo existen dos formas de dividir un tetraedro en dos partes iguales y una de ellas es la de nuestro rompecabezas. Una vez que construyeron las piezas, nuestros alumnos de 4º de primaria fueron bastante rápidos resolviéndolo. Después otro rompecabezas con forma de tetraedro… ¿Tendrá alguna relación? Las piezas de este rompecabezas se podrán poner de forma parecida al rompecabezas primero?

Lo mejor de todo es ver sus caras cuando al fin lo consiguen 🙂 (y saber que están trabajando la visualización espacial, la cooperación,… y aprendiendo matemáticas!)

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Tangram

Algo tendrá el Tangram cuando sobrevive como juego de ingenio al paso de los tiempos.

El Tangram desarrolla la capacidad de observación y la visualización espacial sobre todo, pero también la creatividad, pues una vez acabados los patrones que les llevamos, les pedimos que ellos mismos inventen sus propias figuras. Aquí tenéis algunas de ellas, ¿qué veis?

 

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