Un triángulo de Sierpinski con papel

Hoy queremos dedicar nuestra entrada a los fractales. Ya os hemos hablado en otros momentos de estas formas tan interesantes, cuya construcción se basa únicamente en repetir una y otra vez un mismo procedimiento. Esta idea la contamos con ejemplos muy visuales en nuestro taller de fractales, dedicado a alumnos de primero de primaria. Les mostramos algunos fractales que aparecen en la naturaleza y otros fractales descubiertos por distintos matemáticos, como el conjunto de Mandelbrot o el triángulo de Sierpinski. Al terminar el taller, construimos un triángulo de Sierpinski enorme con latas de refresco. Así que, para enteder qué es eso del triángulo de Sierpiski, vamos a enseñaros cómo construir uno muy sencillo con kirigami.


Un triángulo de Sierpinski es un fractal que puede construirse a partir de cualquier triángulo. Simplemente con cada iteración vamos a ir quitando a cada triángulo su triángulo central. Vamos a ver las primeras iteraciones:

Para construir nuestro triángulo de Sierpisnki de papel, sólo necesitarás dos folios, preferiblemente uno blanco y uno a color, tijeras y pegamento. Si quieres, para empezar, puedes seguir nuestro patrón, que te ayudará a seguir los pasos más fácilmente. Para un mejor resultado te animamos a imprimir a color el patrón que puedes descargar aquí:

Triángulo de Sierpinski – Divermates

Primera iteración

Lo primero que vamos a hacer es doblar el folio por la mitad, por la altura del triángulo, dejando las marcas hacia fuera.

Con el folio doblado y en horizontal, tenemos que ver las marcas como una escalera que sube de izquierda a derecha, es decir, a la izquierda la línea más corta y a la derecha las más largas. En esta posición, recortamos la línea central.

A continuación doblamos hacia arriba el rectángulo que queda a la derecha del corte, como muestra la imagen.

Este doblez es, en realidad, un doblez de referencia. Con esta marca, vamos a meter ese rectángulo hacia dentro.

Mirando desde el canto tiene que quedar como una W, un doblado en zig-zag.

Con esto, ¡ya tenemos la primera iteración!

Segunda iteración

Como estamos construyendo un fractal, con cada nueva iteración vamos a repetir lo que ya hemos hecho en la primera. Sin embargo, con cada iteración las repeticiones aumentan, es decir, vamos a tener que hacer los mismos pasos pero cada vez más veces. Sólo tenemos que ver que nuestro folio ahora ha quedado dividido en cuatro rectángulos (uno de ellos doblado hacia dentro). En la posición horizontal de partida, tenemos que fijarnos en los dos nuevos rectángulos, más pequeños que el inicial: el de arriba a la derecha y el de abajo a la izquierda. Repetimos todos los pasos en cada uno de estos dos rectángulos. Hay que tener en cuenta que cuanto más avanzamos, más capas tenemos. Así, habrá que cortar más capas y realizar más doblados.

Cortamos la línea central de cada uno de los dos rectángulos. Como hemos dicho, en el rectángulo de arriba esta vez cortaremos dos capas.

Hacemos los dobleces de referencia. Cuando tenemos doble capa, para un mejor acabado, es mejor doblar una hacia alante y otra hacia atrás.

Y doblamos hacia dentro, dejando la forma de zig zag. Como en el rectángulo de arriba tenemos las dos capas, tendremos que hacer más doblados.

Así queda tras la segunda iteración completa.

Siguientes iteraciones

Hemos visto que en la segunda iteración teníamos que repetir los pasos en dos nuevos rectángulos. Con cada iteración los rectángulos se duplican. ¿Cuántas veces tendremos que repetir entonces los pasos en esta tercera iteración? Efectivamente, ahora tenemos cuatro rectángulos más pequeños, donde tenemos que repetir todo el proceso.

Y así queda tras terminar la tercera iteración.

Con el patrón ya no quedan más marcas para seguir. No obstante, ahora que ya te hemos enseñado los pasos de cada iteración, desde Divermates te animamos a continuar, al menos, una más.

Para terminar y que quede más bonito todavía, vamos a pegar nuestro triángulo de Sierpinski en un folio en blanco. Dobla el folio en blanco por la mitad. A continuación echa pegamento sobre la parte trasera del triángulo de Sierpinski, esto es, donde aún pueden verse trozos de marcas, y pégalo sobre el folio doblado en blanco. Lo más sencillo es echar primero pegamento a una mitad, y cuando esté pegada, echárselo a la otra mitad.

También puedes hacerte un cuadernillo con las primeras iteraciones como el que te mostramos en el siguiente vídeo, realizado en el colegio Ruta de la Plata de Almendralejo:

¡Esperamos que lo disfrutéis!

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